Ładne ułamki

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{x}+ \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{y}+ \frac{1}{x+z} = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{z}+ \frac{1}{y+x} = \frac{1}{4} .\end{cases} }\)

[Gouranga]

Jest taka metoda że zakładamy, że \(\displaystyle{ x,y,z}\) są rozwiązaniami równania postaci \(\displaystyle{ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0}\) i korzystamy z wzorów Viete'a na sumy i iloczyny, próbowałem tego podejścia i oto gdzie dotarłem

\(\displaystyle{
\begin{cases}
\frac{1}{x}+ \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2} \\
\frac{1}{y}+ \frac{1}{x+z} = \frac{1}{3} \\
\frac{1}{z}+ \frac{1}{y+x} = \frac{1}{4} .\end{cases} \\
\\
\frac{1}{x}+ \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2} \\
\frac{x + y + x}{xy + xz} = \frac{1}{2}\\
\frac{xy + xz}{x+y+z} = 2\\
\\
\frac{1}{y}+ \frac{1}{x+z} = \frac{1}{3} \\
\frac{x+y+z}{xy+yz} = \frac{1}{3}\\
\frac{xy+yz}{x+y+z} = 3\\
\\
\frac{1}{z}+ \frac{1}{y+x} = \frac{1}{4} \\
\frac{x+y+z}{xz+yz} = \frac{1}{4}\\
\frac{xz+yz}{x+y+z} = 4\\
\\
\boxed{\frac{2(xy+yz+xz)}{x+y+z} = 9 = \frac{2\frac{c}{a}}{-\frac{b}{a}} = -\frac{2c}{b} }\\
\\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{13}{12} - \left( \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{x+z} \right)\\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{13}{12} - \left( \frac{1}{x^2y + xyz+x^2z + xz^2 +xy^2 + y^2z +xyz + yz^2 } \right)\\
\frac{xy+yz+xz}{xyz} = \frac{13}{12} - \left( \frac{1}{2xyz + xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z) } \right)\\
\frac{\frac{c}{a}}{-\frac{d}{a}} = \frac{13}{12} - \left( \frac{1}{2\frac{-d}{a} + xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z) } \right)\\
\frac{-c}{d} = \frac{13}{12} - \left( \frac{1}{-\frac{2d}{a} + xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z) } \right)\\
}\)

tylko nie wiem co zrobić z tymi częściowymi sumami i iloczynami, przypuszczam, że jest jakiś wzór którego nie znam, który można tu użyć albo jakaś manipulacja, której nie zauważam, tak czy inaczej jakby jeszcze tylko ten kawałek zamienić na wzory Viete'a to potem zostaje rozwiązać układ żeby znaleźć \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) i rozwiązać równanie dowolną metodą

[piotrjawor]

Oczywiście, zmienne w mianownikach muszą być różne od 0.

\(\displaystyle{ \begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2} / \cdot 2x(y+z) \\
\frac{1}{y} + \frac{1}{z+x} = \frac{1}{3} / \cdot 3y(z+x) \\
\frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4} / \cdot 4z(x+y) \\
\end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
2(x+y+z) = xy + zx \\
3(x+y+z) = yz + xy \\
4(x+y+z) = zx + yz \\
\end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
0 = 12(x+y+z) - 8(x+y+z) - 4(x+y+z) = 4\cdot 3(x+y+z) - 4\cdot 2(x+y+z) - 4(x+y+z) \\
0 = 8(x+y+z) - 6(x+y+z) - 2(x+y+z) = 2\cdot 4(x+y+z) - 2\cdot 3(x+y+z) - 2(x+y+z) \\
\end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
0 = 4(yz+xy) - 4(xy+zx) - (zx+yz) = 4yz + 4xy - 4xy - 4zx - zx - yz = 3yz - 5zx = 3z(y - \frac{5}{3}x) \\
0 = 2(zx+yz) -2(yz+xy) - (xy+zx) = 2zx + 2yz - 2yz - 2xy - xy - zx = zx - 3xy = x(z-3y) \\
\end{cases} }\)

Z uwagi na wstępie wynika, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y = \frac{5}{3}x \\
z = 3y = 3\cdot \frac{5}{3}x = 5x \\
\end{cases} }\)

Dalej możemy wziąć na przykład pierwsze równanie z układu otrzymanego z układu początkowego po wymnożeniu przez mianowniki:
\(\displaystyle{
2(x+y+z) = xy + zx = x(y+z) \\
0 = 2(x+\frac{5}{3}x+5x) - x(\frac{5}{3}x+5x) \\
0 = \frac{46}{3}x - \frac{20}{3}x^2 = \frac{20}{3}x(\frac{23}{10}-x) \\
}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x = \frac{23}{10} \\
y = \frac{5}{3}x = \frac{23}{6} \\
z = 5x = \frac{23}{2} \\
\end{cases} }\)
Wypadałoby chyba jeszcze sprawdzić, czy ta trójka liczb rzeczywiście spełnia początkowy układ równań.

[Gouranga]

Nie wiem dlaczego nie mogę wyedytować mojego postu ale w tym mianowniku możne użyć tych 3 równań z początku i jeszcze trochę dalej z nim zajść chociaż i tak to nie rozwiązuje sprawy do końca a tylko robią się bardziej zawiłe ułamki więc to chyba nie tędy droga, chyba że dalej cos mi umyka

\(\displaystyle{
\frac{-c}{d} = \frac{13}{12} - \left( \frac{1}{-\frac{2d}{a} + xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z) } \right)\\
}\)

\(\displaystyle{
\frac{-c}{d} = \frac{13}{12} - \left( \frac{1}{-\frac{2d}{a} + xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z) } \right)\\
\frac{xy+xz}{x+y+z} = 2\\
xy+xz = 2(x+y+z)\\
y+z = \frac{2(x+y+z)}{x}\\
x+z = \frac{3(x+y+z)}{y}\\
x+y = \frac{4(x+y+z)}{z}\\
xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z) = \\
= \frac{4xy(x+y+z)}{z} + \frac{3xz(x+y+z)}{y} + \frac{ 2yz(x+y+z)}{x} =\\
= (x+y+z)\left( \frac{4(xy)^2 + 3(xz)^2 + 2(yz)^2}{xyz} \right) = \\
= -\frac{b}{a}\left( \frac{4(xy)^2 + 3(xz)^2 + 2(yz)^2}{\frac{-d}{a}} \right)
}\)

[arek1357]

Wypadałoby chyba jeszcze sprawdzić, czy ta trójka liczb rzeczywiście spełnia początkowy układ równań.

spełnia, spełnia,

nie wiem czemu Gouranga podchodzisz do tego układu aż tak bardzo siłowo, poskracać, poprzenosić, podstawić i wychodzi, nie trzeba tu żadnej żonglerki...(Najlepsze metody to najprostsze metody...)

[Gouranga]

nie wiem czemu Gouranga podchodzisz do tego układu aż tak bardzo siłowo,

Bo widząc układ w takiej postaci to była pierwsza metoda, jaka mi się nasunęła i chciałem spróbować go nią rozbroić, a nie mam problemu z tym, żeby powiedzieć, że utknąłem bo często to nie znaczy, że coś zrobiłem źle albo że nie tędy droga tylko że nie zauważam czegoś oczywistego i bywa tak, że wystarczy zacząć i dojść do pewnego punktu, żeby ktoś inny tylko lekko pchnął rozwiązanie w dobrym kierunku do końca

[Premislav]

Umówimy się, Gouranga? xD Sorki, to był żart, nie mogłem się powstrzymać, bo przypomniała mi się teoria niczym z Orsona Scotta Carda nt. pasożytów infekujących normalne, heteroseksualne osoby.

Co do Twojego podejścia, da się je łatwo pociągnąc dalej, bo to wyrażenie
\(\displaystyle{ xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)}\) to jest po prostu
\(\displaystyle{ (x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz}\), dodaj i odejmij sobie w nawiasach kolejno \(\displaystyle{ z, \ y, \ x}\).

BTW może Cię zainteresować temat elementarnych wielomianów symetrycznych (one się naturalnie pojawiają przy rozważaniach dotyczących wzorów Viete'a), tutaj linki są ostro wycinane, ale takie hasło może starczy.

[Gouranga]

to wyrażenie
\(\displaystyle{ xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)}\) to jest po prostu
\(\displaystyle{ (x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz}\),

no tak, wiedziałem, że umknęło mi coś oczywistego... a wszystkie te 3 rzeczy można zamienić na wzory Viete'a i dalej już pójdzie, still, rozwiazywanie tego nie będzie proste ani przyjemne ale metoda powinna zadziałać