przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 11 lut 2024, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 65
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią topologiczną i \(\displaystyle{ Y}\) jej podzbiorem gęstym. Niech \(\displaystyle{ f,g}\) będą funkcjami ciągłymi określonymi na \(\displaystyle{ X}\) o wartościach rzeczywistych. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ f(y)=g(y)}\) dla każdego \(\displaystyle{ y}\) w \(\displaystyle{ Y}\), to \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ X}\).
Ostatnio zmieniony 11 lut 2024, o 17:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 11 lut 2024, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 65
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Dziękuję. Postaram się to wykazać, a mógłbyś powiedzieć dlaczego domkniętość tego zbioru jest równoważna z naszą tezą?
-
- Administrator
- Posty: 34370
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5208 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Bo ten zbiór zawiera domknięcie zbioru gęstego, czyli...
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 11 lut 2024, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 65
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
czyli całą przestrzeń. Dziękuję już rozumiem, gdy będę już coś miał, to postaram się tutaj to wpisać do sprawdzenia poprawności.
Dodano po 43 minutach 55 sekundach:
Skoro \(\displaystyle{ Y\subset X}\) jest gęsty, to istnieje ciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty}}\) w \(\displaystyle{ Y}\) taki, że \(\displaystyle{ x_n\to x}\).
Jeśli \(\displaystyle{ f(x_n)=g(x_n)}\) oraz \(\displaystyle{ f,g-}\) funkcje ciągłe, to \(\displaystyle{ f(x)=\lim_{x_n\to x}f(x_n)=\lim_{x_n\to x}g(x_n)=g(x)}\). \(\displaystyle{ \square}\)
Czy taki dowód jest poprawny?
Dodano po 43 minutach 55 sekundach:
Skoro \(\displaystyle{ Y\subset X}\) jest gęsty, to istnieje ciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty}}\) w \(\displaystyle{ Y}\) taki, że \(\displaystyle{ x_n\to x}\).
Jeśli \(\displaystyle{ f(x_n)=g(x_n)}\) oraz \(\displaystyle{ f,g-}\) funkcje ciągłe, to \(\displaystyle{ f(x)=\lim_{x_n\to x}f(x_n)=\lim_{x_n\to x}g(x_n)=g(x)}\). \(\displaystyle{ \square}\)
Czy taki dowód jest poprawny?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Tak, ale zapewne nie o taki dowód chodziło. Pokaż, że
- \(\displaystyle{ Y \subset \{ x \in X : f(x) = g(x) \}.}\)
- Domknięte nadzbiory zbiorów gęstych są całością lub bo do tego się to sprowadza, że domknięcie zachowuje inkluzję; \(\displaystyle{ A \subset B \Rightarrow \cl A \subset \cl B}\).
-
- Administrator
- Posty: 34370
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5208 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Jak to jest przestrzeń topologiczna, a nie metryczna, to z ciągów trzeba się bardziej tłumaczyć.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 11 lut 2024, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 65
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Skoro jest poprawny, to dlaczego nie o taki chodziło?Janusz Tracz pisze: ↑11 lut 2024, o 19:47Tak, ale zapewne nie o taki dowód chodziło. Pokaż, że
- \(\displaystyle{ Y \subset \{ x \in X : f(x) = g(x) \}.}\)
- Domknięte nadzbiory zbiorów gęstych są całością lub bo do tego się to sprowadza, że domknięcie zachowuje inkluzję; \(\displaystyle{ A \subset B \Rightarrow \cl A \subset \cl B}\).
Dodano po 46 sekundach:
Czy mógłbyś rozwinąć w jakim sensie trzeba by się bardziej tłumaczyć? Dziękuję!Jan Kraszewski pisze: ↑11 lut 2024, o 19:58Jak to jest przestrzeń topologiczna, a nie metryczna, to z ciągów trzeba się bardziej tłumaczyć.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34370
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5208 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Np. co to wg Ciebie znaczymikrocypek pisze: ↑11 lut 2024, o 20:11Czy mógłbyś rozwinąć w jakim sensie trzeba by się bardziej tłumaczyć?
w przestrzeni topologicznej? Pamiętaj, że nie masz pojęcia odległości.mikrocypek pisze: ↑11 lut 2024, o 19:17 istnieje ciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty}}\) w \(\displaystyle{ Y}\) taki, że \(\displaystyle{ x_n\to x}\).
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Dlaczego? Ciągłość \(\displaystyle{ f,g}\) to założenie więc dla ciągu \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x}\) (w sensie topologii) implikacja, iż \(\displaystyle{ f(x_n)\to f(x)}\) zachodzi. Robimy tak dla każdego \(\displaystyle{ x}\) dostając zawsze punk po punkcie, że \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\). Jak już trzeba na coś uważać to na jednoznaczność granicy ciągu \(\displaystyle{ f(x_n)}\). Ale to mamy bo \(\displaystyle{ \RR}\) jest metryczna. Teza zachodzi, gdy przeciwdziedzina jest \(\displaystyle{ \sf{T}_2}\).Jan Kraszewski pisze: ↑11 lut 2024, o 19:58 Jak to jest przestrzeń topologiczna, a nie metryczna, to z ciągów trzeba się bardziej tłumaczyć.
Bo Dasio11 nakreślił swoim pierwszym postem czysto topologiczną (i elegancką) drogę rozwiązania. I każdy postem się do tego odnosił. Więc pomysł z ciągami był czymś poza głównym nurtem dyskusji.
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 11 lut 2024, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 65
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
To może tak: skoro \(\displaystyle{ Y-}\) gęsty, to dla dowolnego otwartego otoczenia punkt \(\displaystyle{ x}\) prawie wszystkie elementy ciągu \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) należą do tego otoczenia?
Dodano po 2 minutach 59 sekundach:
Dodano po 2 minutach 59 sekundach:
Rozumiem. Czy mógłbyś mi pokazać jak inaczej można pokazać domkniętość tego zbioru? Bo nie mam totalnie pomysłu. Dziękuję!Janusz Tracz pisze: ↑11 lut 2024, o 20:56 Bo Dasio11 nakreślił swoim pierwszym postem czysto topologiczną (i elegancką) drogę rozwiązania. I każdy postem się do tego odnosił. Więc pomysł z ciągami był czymś poza głównym nurtem dyskusji.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Ten zbiór to inaczej \(\displaystyle{ (f-g)^{-1}[\left\{ 0\right\} ]}\). A jako, że \(\displaystyle{ f-g}\) jest ciągła oraz \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} }\) jest... no jaki jest singleton zera? To \(\displaystyle{ (f-g)^{-1}[\left\{ 0\right\} ]}\) jest...
PS ja się nie znam na topologii więc słuchaj się JK i Dasio11.
PS ja się nie znam na topologii więc słuchaj się JK i Dasio11.
-
- Administrator
- Posty: 34370
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5208 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Dla Ciebie to oczywiste, czym jest zbieżność z w sensie topologii, ale nie jestem pewien, czy mikrocypka też (bo nie odpowiedział na moje pytanie).Janusz Tracz pisze: ↑11 lut 2024, o 20:56dla ciągu \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x}\) (w sensie topologii)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 11 lut 2024, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 65
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Próbowałem odpowiedzieć na to pytanie. Rozumiem, że nie jest to poprawne uzasadnienie?
Ostatnio zmieniony 12 lut 2024, o 06:36 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10240
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2367 razy
Re: przestrzeń topologiczna z podzbiorem gęstym
Ten fragment jest niepoprawny z dwóch powodów.mikrocypek pisze: ↑11 lut 2024, o 19:17Skoro \(\displaystyle{ Y\subset X}\) jest gęsty, to istnieje ciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty}}\) w \(\displaystyle{ Y}\) taki, że \(\displaystyle{ x_n\to x}\).
Po pierwsze dlatego, że w dowodzie nie używamy pojęć, których nie umiemy zdefiniować. ;>
Po drugie zaś, zakładając że na pytanie Janka przytoczyłbyś definicję klasyczną:
to wówczas użyta przez Ciebie implikacja nie zachodzi. To znaczy: W dowolnych przestrzeniach topologicznych nie jest prawdą, że z elementów podzbioru gęstego można ułożyć ciągi zbieżne do wszystkich elementów przestrzeni. Rozumowanie da się naprawić korzystając z ciągów uogólnionych (ang. net), ale na szczęście istnieje też droga bezpośrednio topologiczna.Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny do elementu \(\displaystyle{ x \in X}\) (ozn. \(\displaystyle{ x_n \to x}\)) jeśli dla każdego otwartego otoczenia \(\displaystyle{ U \subseteq X}\) elementu \(\displaystyle{ x}\), prawie wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) należą do \(\displaystyle{ U}\). Symbolicznie:
\(\displaystyle{ (\forall U \underset{\text{otw.}}{\subseteq} X) \big[ x \in U \implies (\exists N \in \mathbb{N})(\forall n \ge N) \, x_n \in U \big]}\).
Do udowodnienia nadal są dwa fakty:
(i) Zbiór \(\displaystyle{ \{ x \in X : f(x) = g(x) \}}\) jest domknięty.
(ii) Z faktu, że powyższy zbiór jest domknięty, wynika teza zadania.