Arytmetyki 7 i 11
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11623
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
Arytmetyki 7 i 11
Ciąg okresowy \(\displaystyle{ 1, 4, 5, 9, 3, 1, 4, 5, 9, 3, 1,....}\) w arytmetyce mod \(\displaystyle{ 11}\) jest też ciągiem geometrycznym (w tej arytmetyce) jak i ciągiem Fibonacciego. Udowodnić, że w arytmetyce mod \(\displaystyle{ 7}\) ciągu o tych własnościach nie ma.
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5764
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 528 razy
Re: Arytmetyki 7 i 11
Jak tworzymy ciąg Fibonacciego w: \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\) w każdej kombinacji dwóch pierwszych liczb, to i tak zawsze pojawi się w którymś momencie zero...
Nietrudno to sprawdzić po prostu licząc...
A nawet jakbyśmy chcieli utworzyć tylko trzyelementowy ciąg w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\) spełniający:
\(\displaystyle{ x,y,z}\)
\(\displaystyle{ y^2=xz, z=x+y}\)
to otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ y^2-xy-x^2=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta= 5x^2}\)
Lecz niestety piątka nie jest liczbą kwadratową w ciele: \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\) więc ten układ nie ma rozwiązania...
Zapewne wiąże się to z tym, że w ciele: \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\) równanie:
\(\displaystyle{ x^2=5}\) nie ma rozwiązania natomiast w: \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) równanie to ma rozwiązanie a jak wiadomo w ciągu Fibonacciego piątka i jej pierwiastek odgrywają kluczową rolę...
Istotne jest też czy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+ \sqrt{5} }{1- \sqrt{5} } \right)^n }\) czy jest generatorem grupy w:
\(\displaystyle{ \ZZ^*_{p}( \sqrt{5}), \cdot }\) czy nie, np:
w: \(\displaystyle{ \ZZ_{7}( \sqrt{5}) }\) tak nie jest bo:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+ \sqrt{5} }{1- \sqrt{5} } \right)^8=1}\)
natomiast w:
\(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+ \sqrt{5} }{1- \sqrt{5} } =2}\)
\(\displaystyle{ x^2=5 \Rightarrow x=4 \vee 7}\)
a dwójka jest generatorem: \(\displaystyle{ \left( \ZZ^*_{11}, \cdot \right)}\)
Nietrudno to sprawdzić po prostu licząc...
A nawet jakbyśmy chcieli utworzyć tylko trzyelementowy ciąg w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\) spełniający:
\(\displaystyle{ x,y,z}\)
\(\displaystyle{ y^2=xz, z=x+y}\)
to otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ y^2-xy-x^2=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta= 5x^2}\)
Lecz niestety piątka nie jest liczbą kwadratową w ciele: \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\) więc ten układ nie ma rozwiązania...
Zapewne wiąże się to z tym, że w ciele: \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\) równanie:
\(\displaystyle{ x^2=5}\) nie ma rozwiązania natomiast w: \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) równanie to ma rozwiązanie a jak wiadomo w ciągu Fibonacciego piątka i jej pierwiastek odgrywają kluczową rolę...
Istotne jest też czy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+ \sqrt{5} }{1- \sqrt{5} } \right)^n }\) czy jest generatorem grupy w:
\(\displaystyle{ \ZZ^*_{p}( \sqrt{5}), \cdot }\) czy nie, np:
w: \(\displaystyle{ \ZZ_{7}( \sqrt{5}) }\) tak nie jest bo:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+ \sqrt{5} }{1- \sqrt{5} } \right)^8=1}\)
natomiast w:
\(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+ \sqrt{5} }{1- \sqrt{5} } =2}\)
\(\displaystyle{ x^2=5 \Rightarrow x=4 \vee 7}\)
a dwójka jest generatorem: \(\displaystyle{ \left( \ZZ^*_{11}, \cdot \right)}\)
-
Samouk1
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 13 lis 2022, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 26
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Arytmetyki 7 i 11
@arek1357 zauważyłem, że korzystasz (tu, ale w niektórych tematach jeszcze bardziej) dość zaawansowanych metod. Algebra to jest coś co (chyba) lubię. Mógłbyś mi powiedzieć co należy przerobić, żeby osiągnąć taki poziom?
Przepraszam, że nic nie wniosłem do tematu, ale pozwolę sobie (trochę legalistycznie) skorzystać z regulaminowych trzech postów, które mogą być off-top.
Przepraszam, że nic nie wniosłem do tematu, ale pozwolę sobie (trochę legalistycznie) skorzystać z regulaminowych trzech postów, które mogą być off-top.
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5764
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 528 razy
Re: Arytmetyki 7 i 11
Akurat korzystałem tu z ciał:
\(\displaystyle{ \ZZ_{p^2}}\)
A które dość dobrze rozszerzają ciała \(\displaystyle{ \ZZ_{p}}\) jak napiszę ( a już tak kilka razy było w ciele podstawowym np:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) - to się mnie będą czepiać i dlatego wolę to już na wyrost rozszerzyć...
\(\displaystyle{ \ZZ_{p^2}}\)
A które dość dobrze rozszerzają ciała \(\displaystyle{ \ZZ_{p}}\) jak napiszę ( a już tak kilka razy było w ciele podstawowym np:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) - to się mnie będą czepiać i dlatego wolę to już na wyrost rozszerzyć...
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5764
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 528 razy
Re: Arytmetyki 7 i 11
Polecam: Teorię liczb w informatyce Song Y. Yan dobry podręcznik bez lania wody
Dodano po 4 minutach :
A poza tym zawsze notuję i zapisuję różne wzory i twierdzenia, które wiem, że są potrzebne i przydatne w sumie po jakimś czasie cyklicznie wracasz do tego samego co gdzieś kiedyś było...a po drugie traktuj to jak zabawę i łamigłówki i staraj się łączyć fakty czasem zaprowadzi Cię to do ślepego zaułku ale to nie najważniejsze...
Dodano po 4 minutach :
A poza tym zawsze notuję i zapisuję różne wzory i twierdzenia, które wiem, że są potrzebne i przydatne w sumie po jakimś czasie cyklicznie wracasz do tego samego co gdzieś kiedyś było...a po drugie traktuj to jak zabawę i łamigłówki i staraj się łączyć fakty czasem zaprowadzi Cię to do ślepego zaułku ale to nie najważniejsze...