Dzień dobry,
Czy średnia arytmetyczna niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie jest od nich niezależna?
Średnia arytmetyczna niezależnych zmiennych losowych
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 21 maja 2019, o 23:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 21 maja 2019, o 23:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
Re: Średnia arytmetyczna niezależnych zmiennych losowych
Ma taki sam rozkład? Zawsze?
Weźmy np. \(\displaystyle{ X_1, ..., X_n}\) - niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie Gamma o parametrach \(\displaystyle{ k, \lambda.}\) Czyli \(\displaystyle{ X_i \sim Gamma(k,\lambda).}\)
Z własności rozkładu Gamma wynika, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} X_i \sim Gamma(n \cdot k,\lambda)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim Gamma(n \cdot k,n \cdot \lambda)}\)
z czego wynikałoby, że średnia arytmetyczna niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie nie ma takiego samego rozkładu, co te zmienne.
Czy gdzieś popełniam błąd?
Weźmy np. \(\displaystyle{ X_1, ..., X_n}\) - niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie Gamma o parametrach \(\displaystyle{ k, \lambda.}\) Czyli \(\displaystyle{ X_i \sim Gamma(k,\lambda).}\)
Z własności rozkładu Gamma wynika, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} X_i \sim Gamma(n \cdot k,\lambda)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim Gamma(n \cdot k,n \cdot \lambda)}\)
z czego wynikałoby, że średnia arytmetyczna niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie nie ma takiego samego rozkładu, co te zmienne.
Czy gdzieś popełniam błąd?
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Średnia arytmetyczna niezależnych zmiennych losowych
Tak. Ufając odpowiedzi Janusza47..
Wydaje się zupełnie nielogiczne, żeby średnia arytmetyczna pewnych wartości była od nich niezależna, a proste przykłądy to potwierdzają.
Np `\Omega=[0,1]^2`, `X(x,y)=x, Y(x,y)=y` są niezależne. Policz `P(X\le 1/2 \wedge X+Y\le 1)` i `P(X\le 1/2)P(X+Y\le 1)`
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 21 maja 2019, o 23:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
Re: Średnia arytmetyczna niezależnych zmiennych losowych
Zgadzam się, zadając to pytanie liczyłam na negatywną odpowiedź. Intuicyjnie tak mi się wydawało, chciałam jednak potwierdzenia.
Wracając do przykładu niezależnych zmiennych losowych z rozkładu \(\displaystyle{ Gamma(k,\lambda),}\) ustalmy pewne \(\displaystyle{ s.}\)
Jak policzyć \(\displaystyle{ E\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i \cdot X_s \right] }\)?
Edit: Ogólnie wiem jak liczyć wartość oczekiwaną, moim problemem jest brak znajomości rozkładu łącznego dla \(\displaystyle{ (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i , X_s )}\)