chciałbym tutaj przedstawić swoje obliczenia. W pewnym sensie "utknąłem" i właśnie dlatego chciałem założyć ten temat bo być może osoby bardziej wykształcone zobaczą od razu coś czego ja nie widzę albo w ogóle podważą sens tych rozważań. Obliczeniowo są to proste rzeczy. Postaram się to opisać w sposób przystępny dla laików - mam nadzieję, że eksperci wybaczą taki sposób opisu i nie uznają go za nadmiarowy ale tak też mi jest łatwiej opisać o co chodzi.
1. Wiemy, że każda naturalna złożona \(\displaystyle{ n > 1}\) może być zapisana w unikalny sposób jako iloczyn liczb pierwszych (czynniki pierwsze). W przypadku liczb parzystych, szereg czynników pierwszych każdej z nich zawsze zaczyna się od \(\displaystyle{ 2}\).
2. W kwestii parzystej jako sumy dwóch liczb pierwszych - interesują nas tutaj liczby \(\displaystyle{ n \ge 8}\). Uzasadnienie: opisywany przypadek dotyczy sum złożonych z dwóch różnych liczb pierwszych. Jest tak dlatego bo taka metoda tworzenia sum będzie uniwersalna dla wszystkich liczb parzystych.
3. Dwóch liczb pierwszych których suma to \(\displaystyle{ n}\) możemy poszukać wśród czynników pierwszych dwóch innych liczb parzystych. Te liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są takie, że są dwukrotnością liczb pierwszych (mają tylko dwa czynniki pierwsze 2 i pierwszą). W tym układzie \(\displaystyle{ a < n < b}\) .
Np:
\(\displaystyle{ n = 10 = 3 + 7}\)
\(\displaystyle{ a = 6 = 2 \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ b = 14 = 2 \cdot 7}\)
itd:
\(\displaystyle{ n = 34 = 29 + 5}\)
\(\displaystyle{ a = 10 = 2 \cdot 5}\)
\(\displaystyle{ b = 58 = 2 \cdot 29}\)
4. Mamy:
\(\displaystyle{ n = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} }\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ \frac{a}{2} < \frac{n}{2} < a < \frac{b}{2} < n < b < 2n}\)
5. Interesują nas przedziały gdzie są \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{b}{2}}\) Ilość liczb pierwszych w pedziałach \(\displaystyle{ (0;\frac{n}{2})}\) i \(\displaystyle{ (0;n)}\) można oszacować z rosnącą precyzją dla rosnącego \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ LP_{\frac{n}{2}} = \frac{\frac{n}{2}}{ln(\frac{n}{2})-1} }\)
\(\displaystyle{ LP_{n} = \frac{n}{ln(n)-1} }\)
6. Interesuje nas jednak ile liczb pierwszych jest w przedziale \(\displaystyle{ ( \frac{n}{2};n)}\) ponieważ, jest ich tam mniej niż w przedziale \(\displaystyle{ (0; \frac{n}{2} )}\) i ich ilość tam, ogranicza ilość możliwych sum. Oszacowanie takie można obliczyć jako różnicę:
\(\displaystyle{ LP_{n} - LP_{\frac{n}{2}} = LP_{s} }\)
Mamy więc pewną ilość liczb pierwszych \(\displaystyle{ LP_{s}}\) które są potencjalnym większym z dwóch składnikiem sumy tworzącej \(\displaystyle{ n}\). Suma ma też drugi składnik, więc oszacowana moc zbioru wszystkich liczb pierwszych które mogą utworzyć sumę wynosi \(\displaystyle{ 2LP_{s}}\)
7. Teraz przechodzimy do kombinatoryki a konkretnie do zagadnienia wariacji bez powtórzeń. Liczba \(\displaystyle{ V}\), \(\displaystyle{ i}\) wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru \(\displaystyle{ e}\) elementowego to:
\(\displaystyle{ V^{i}_{e} = \frac{e!}{(e-i)!} }\)
Tutaj \(\displaystyle{ i = 2}\) ponieważ suma tworząca \(\displaystyle{ n}\) ma dwa składniki. Wariacje są tutaj tożsame z parami liczb pierwszych które tworzą sumę.
\(\displaystyle{ V = \frac{2LP_{s}!}{(2LP_{s}-2)!} }\)
Jednak taka wariacja bez powtórzeń tylko nam namiesza ponieważ \(\displaystyle{ V}\) odnosi się również do całkowicie niepotrzebnych sum dwóch liczb pierwszych gdzie obie są z przedziału \(\displaystyle{ (0; \frac{n}{2} )}\) jak również niepotrzebnych sum gdzie obie liczby są z przedziału \(\displaystyle{ ( \frac{n}{2};n)}\). To się robi mało przejrzyste dlatego rozpiszmy to na prostym przykładzie:
Jeśli \(\displaystyle{ LP_{s} = 3}\) to mamy 6 liczb pierwszych które podlegają kombinacji; nazwijmy je \(\displaystyle{ g, h, j, k, l, m}\). Z czego w opisywanym przypadku \(\displaystyle{ g, h, j}\) są tymi mniejszymi z przedziału \(\displaystyle{ (0; \frac{n}{2} )}\) a \(\displaystyle{ k, l, m}\) tymi większymi z przedziału \(\displaystyle{ ( \frac{n}{2};n)}\).
Mamy więc \(\displaystyle{ \frac{6!}{(6-2)!} = 30}\) wariacji bez powtórzeń. Rozpiszę je:
Kod: Zaznacz cały
gh gj gk gl gm
hj hk hl hm
jk jl jm
kl km
lm
Trzeba jednak jakoś obciąć niepotrzebne sumy gdzie oba składniki są z tego samego przedziału (interesują nas te z różnych). Jest to tożsame z obcięciem rogów tego trójkąta tak by został kwadrat:
Kod: Zaznacz cały
-- -- gk gl gm
-- hk hl hm
jk jl jm
-- --
--
\(\displaystyle{ W}\) to tutaj ilość sum pierwszych w których hipotetycznie jest przynajmniej jedna taka która może utworzyć \(\displaystyle{ n}\).
8. Hipotetycznie, więc można powiedzieć, że do niczego nie doszliśmy tymi obliczeniami. Jednak mamy tutaj wartość \(\displaystyle{ W}\) którą możemy porównać z \(\displaystyle{ n}\). Z obliczeń tą metodą wynika, że:
\(\displaystyle{ \frac{W}{n} < 1}\) dla \(\displaystyle{ n < 84}\)
\(\displaystyle{ \frac{W}{n} = 1}\) dla \(\displaystyle{ n = 84}\)
\(\displaystyle{ \frac{W}{n} > 1}\) dla \(\displaystyle{ n > 84}\)
Dla kolejnych coraz wyższych \(\displaystyle{ n}\), wartość \(\displaystyle{ \frac{W}{n} }\) wzrasta, przykładowo dla \(\displaystyle{ n = 1000}\) wynosi \(\displaystyle{ \approx 5,39}\) a dla \(\displaystyle{ n = 10000}\), \(\displaystyle{ \approx 30,56}\).
Warto zauważyć, że wariacje (sumy) ze zbioru o mocy \(\displaystyle{ W}\) to są sumy które zwracają wyniki z przedziału zawężonego do:
\(\displaystyle{ \left\langle \left[ 3+( \frac{n}{2}+2)\right] ; \left[ (\frac{n}{2}-2)+( n-1) \right] \right\rangle }\)
9. I teraz:
\(\displaystyle{ \frac{n}{ \left[ (\frac{n}{2}-2)+( n-1) \right] - \left[ 3+( \frac{n}{2}+2)\right]}}\) dla kolejnych \(\displaystyle{ n}\) zbliża się w nieskończoność do \(\displaystyle{ 1}\) a to oznacza stabilną relację parzystej \(\displaystyle{ n}\) do ilości możliwych wyników sum, przy jednoczesnym wzroście ilości tych możliwych do stworzenia sum w relacji do \(\displaystyle{ n}\) . Oczywiście dany wynik sumy może się powtórzyć w zbiorze \(\displaystyle{ W}\) elementowym.
Uważam, że to spostrzeżenie znacznie umacnia hipotezę. Można bowiem stwierdzić, że wraz z coraz wyższymi \(\displaystyle{ n}\) nieskończenie rośnie ilość możliwości na utworzenie sum dla wyników z podanego wyżej przedziału, a w tym dla wyniku którym jest nasza \(\displaystyle{ n}\).
Długo robiłem tego posta, mam nadzieję, że nic nie pokopałem i wszystko jest dobrze policzone / wywnioskowane.
.