przekształcenie wyrażenia

[Damieux]

Witam,
czy po przekształceniu tego:
\(\displaystyle{ 9 \pi \left( 2 \sqrt{2+ \sqrt{3} }- \sqrt{6+3 \sqrt{3} } \right) }\)

może wyjść taki wynik?:
\(\displaystyle{ \frac{9}{2} \pi \left( \sqrt{6}- \sqrt{2} \right) }\)

To pierwsze mi wyszło, a w odpowiedziach jest ta druga wersja..

[piasek101]

Mogłeś sprawdzić (np podnosząc stronami do kwadratu) czy \(\displaystyle{ \left( 2 \sqrt{2+ \sqrt{3} }- \sqrt{6+3 \sqrt{3} } \right) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{6}- \sqrt{2} \right)}\).
Mi wyszło, że tak.
[edit] Po podniesieniu do kwadratu stronami (obie są dodatnie) jest :
\(\displaystyle{ 4\left(2+\sqrt 3\right) - 4\sqrt{\left(3+2\sqrt 3\right)^2}+6+3\sqrt 3=2-\sqrt 3}\)

[Damieux]

Ok, to dobrze, tylko ciekaw jeszcze jestem, jak dojść do takiego wyniku, nie znając odpowiedzi..

[piasek101]

To sztuka dla sztuki bo można nie zauważyć, że
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2+\sqrt 3}=\sqrt{8+4\sqrt 3}=\sqrt {2(1+\sqrt 3)^2}=\sqrt 2 + \sqrt 6}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{6+3\sqrt 3}=\sqrt{ 0,25(\sqrt 6+3\sqrt 2)^2}=0,5\sqrt 6 +1,5\sqrt 2}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ 9\pi(2\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{6+3\sqrt3})=9\pi(2\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{3(2+\sqrt3})=\\\\
=9\pi(2\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt3})=9\pi(\sqrt{2+\sqrt3})(2-\sqrt{3})=\\\\
=9\pi(\sqrt{2+\sqrt3})(2-\sqrt{3})=9\pi(\sqrt{2+\sqrt3})\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=\\\\
=9\pi(\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt{3})^2}=9\pi(\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\\\\
=9\pi(\sqrt{(4-3)(2-\sqrt{3})}=9\pi\sqrt{2-\sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ 2-\sqrt3=(a-b)^2\\\\2-\sqrt3=a^2-2ab+b^2}\)
Rozwiązujesz układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2=2\\2ab=\sqrt3\end{cases}}\)