Dzielniki liczby 2010

[Marcin_z106]

Liczba 2010 ma 16 dzielników będących liczbami naturalnymi.
a) Ile dzielników naturalnych ma liczba \(\displaystyle{ 2010^{2}}\)???
b) Ile dzielników naturalnych ma liczba \(\displaystyle{ 2010^{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in N}\)???

[czekoladowy]

a) \(\displaystyle{ 16*2=32}\)
b)\(\displaystyle{ 16n}\)

[gendion]

a) \(\displaystyle{ 16*2=32}\)
b)\(\displaystyle{ 16n}\)

jesteś pewien na 100%?

[Marcin_z106]

Też mi sie wydaje że to za latwe rozwiązanie. To wkońcu jest otwarte zadanie. Może Ty znasz jak powinno być???

[gendion]

Też mi sie wydaje że to za latwe rozwiązanie. To wkońcu jest otwarte zadanie. Może Ty znasz jak powinno być???

Owszem


Ogólnie jeśli mamy rozkład liczby na czynniki pierwsze to ilość dzielników tej liczby równa się iloczynowi wykładników przy liczbach pierwszych zwiekszonych o 1.

Np.: jaka jest liczba dzielników liczby 6
Rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze: 6=2*3
wykładnik przy dwójce to 1 i przy trójce też jeden
więc zwiększamy wykładniki o 1 i mamy: 2 oraz 2.
bierzemy ich iloczyn: 2*2=4 sprawdzamy dzileniki szóstki: 1,2,3,6. Zgadza się
Np. ile dzielników ma liczba 5324, rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze:
\(\displaystyle{ 5324=11^3 \cdot 2^2}\)
i mamy wykładniki 3 oraz 2
zwiększamy je i mamy: 4 oraz 3 bierzemy ich iloczyn: 4*3=12
liczba 5324 ma 12 dzielników.

Teraz liczba 2010= 2*3*5*67
\(\displaystyle{ 2010^2=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 67^2}\)
mamy wykładniki: 2,2,2,2 zwiększamy je o 1
i mamy 3,3,3,3 bierzemy iloczyn i mamy 81

Jak będzie dla \(\displaystyle{ 2010^n}\) Ty mi powiedz

[Marcin_z106]

Według mnie to bedzie tak:

\(\displaystyle{ 2010^{n} = 2^{n}* 3^{n}* 5^{n} * 67^{n}}\)

mamy wykladniki: n,n,n,n i zwiekszamy je o 1
i mamy wtedy: n+1,n+1,n+1,n+1 , bierzemy iloczyn i mamy \(\displaystyle{ (n+1)^{4}}\)

Dobrze zrobiłem??

[gendion]

tak jest