Oblicz sumę

[Mariusz M]

Jak obliczyć następującą sumę

\(\displaystyle{
\sum_{k=m}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n \choose 2k} \cdot {k \choose m}
}\)

Zaburzanie, sumowanie przez części, a może rekurencja ?

Jeśli chodzi o rekurencję to może coś da się wykombinować w następujący sposób

Ustalamy sobie jakieś \(\displaystyle{ n}\)
Tworzymy ciąg sum
\(\displaystyle{ s_{m} = \sum_{k=m}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n \choose 2k} \cdot {k \choose m} \qquad m \in \left\{ 0,1,_\cdots , \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\right\} }\)
Staramy się zaobserwować zależność rekurencyjną między wyrazami ciągu \(\displaystyle{ s_{m}}\)
Gdyby nam się udało znaleźć taką rekurencję na wyrazy tego ciągu aby rozwiązanie rekurencji móc zapisać w postaci iloczynu
to można by próbować zwinąć ten iloczyn do potęg dwójki , silni a może nawet i symbolu Newtona

Tylko nie mam pomysłu na to jak ułożyć takie równanie rekurencyjne

Jak ktoś ma inny pomysł to może przedstawić a ja ocenię czy nie będzie kołowego rozumowania itp

Dodano po 1 dniu 13 godzinach 3 minutach 48 sekundach:
Znam poprawny wynik ale gościu który mi go podał nie chciał pochwalić się tym jak go uzyskał

[arek1357]

z wolframa też otrzymasz wynik

Dodano po 2 minutach 2 sekundach:
taki:

\(\displaystyle{ 2^{-2m+n-1} \frac{n}{n-m} {n-m \choose m} }\)

[Mariusz M]

Ten z Wolframa nie jest poprawny
Patrzyłeś co się dzieje dla
\(\displaystyle{ n=m=0}\)
Gościu twierdzi że znalazł wzór na tę sumę twoim ulubionym sposobem
ale pokazać poprawności choćby indukcją już nie chciał

Wynik tego gościa to

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{
\Large
{
s_{n,m} = \left( {n-m \choose n-2m} + {n-m-1 \choose n-2m} \right) \cdot 2^{n-2m-1}
}
}\)

[arek1357]

Oczywiście przypadek m=n nie będzie działał więc to trzeba brać osobno

[Mariusz M]

Tylko po co skoro można znaleźć wzór działający także dla \(\displaystyle{ n=m=0}\)

[arek1357]

Tylko, że jak w Twoim pierwotnym sumowaniu podstawimy:

n=m to otrzymamy dziwne rzeczy a mianowicie, że dół przedziału sumowanie będzie większy od góry...

[Mariusz M]

To jest symbol Newtona więc wszystko jest ok
poza tym \(\displaystyle{ 0 \le m \le\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\)

Jak policzyć tę sumę ?

I jak wyglądałaby indukcja gdybyśmy chcieli pokazać że

\(\displaystyle{
T_{n}\left( x\right) = \sum_{m=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{\left( \left( {n-m \choose n-2m} + {n-m-1 \choose n-2m} \right) \cdot 2^{n-2m-1} \right)x^{n-2m} }
}\)

spełnia równanie rekurencyjne

\(\displaystyle{
\begin{cases} T_{n}\left( x\right) = 2xT_{n-1}\left( x\right) - T_{n-2}\left( x\right) \qquad n \ge 2 \\ T_{0}\left( x\right) = 1 \\T_{1}\left( x\right) = x \end{cases}
}\)