Jak obliczyć następującą sumę
\(\displaystyle{
\sum_{k=m}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n \choose 2k} \cdot {k \choose m}
}\)
Zaburzanie, sumowanie przez części, a może rekurencja ?
Jeśli chodzi o rekurencję to może coś da się wykombinować w następujący sposób
Ustalamy sobie jakieś \(\displaystyle{ n}\)
Tworzymy ciąg sum
\(\displaystyle{ s_{m} = \sum_{k=m}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n \choose 2k} \cdot {k \choose m} \qquad m \in \left\{ 0,1,_\cdots , \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\right\} }\)
Staramy się zaobserwować zależność rekurencyjną między wyrazami ciągu \(\displaystyle{ s_{m}}\)
Gdyby nam się udało znaleźć taką rekurencję na wyrazy tego ciągu aby rozwiązanie rekurencji móc zapisać w postaci iloczynu
to można by próbować zwinąć ten iloczyn do potęg dwójki , silni a może nawet i symbolu Newtona
Tylko nie mam pomysłu na to jak ułożyć takie równanie rekurencyjne
Jak ktoś ma inny pomysł to może przedstawić a ja ocenię czy nie będzie kołowego rozumowania itp
Dodano po 1 dniu 13 godzinach 3 minutach 48 sekundach:
Znam poprawny wynik ale gościu który mi go podał nie chciał pochwalić się tym jak go uzyskał
Oblicz sumę
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Oblicz sumę
Ten z Wolframa nie jest poprawny
Patrzyłeś co się dzieje dla
\(\displaystyle{ n=m=0}\)
Gościu twierdzi że znalazł wzór na tę sumę twoim ulubionym sposobem
ale pokazać poprawności choćby indukcją już nie chciał
Wynik tego gościa to
Patrzyłeś co się dzieje dla
\(\displaystyle{ n=m=0}\)
Gościu twierdzi że znalazł wzór na tę sumę twoim ulubionym sposobem
ale pokazać poprawności choćby indukcją już nie chciał
Wynik tego gościa to
Ukryta treść:
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Oblicz sumę
Tylko, że jak w Twoim pierwotnym sumowaniu podstawimy:
n=m to otrzymamy dziwne rzeczy a mianowicie, że dół przedziału sumowanie będzie większy od góry...
n=m to otrzymamy dziwne rzeczy a mianowicie, że dół przedziału sumowanie będzie większy od góry...
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Oblicz sumę
To jest symbol Newtona więc wszystko jest ok
poza tym \(\displaystyle{ 0 \le m \le\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\)
Jak policzyć tę sumę ?
I jak wyglądałaby indukcja gdybyśmy chcieli pokazać że
\(\displaystyle{
T_{n}\left( x\right) = \sum_{m=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{\left( \left( {n-m \choose n-2m} + {n-m-1 \choose n-2m} \right) \cdot 2^{n-2m-1} \right)x^{n-2m} }
}\)
spełnia równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{
\begin{cases} T_{n}\left( x\right) = 2xT_{n-1}\left( x\right) - T_{n-2}\left( x\right) \qquad n \ge 2 \\ T_{0}\left( x\right) = 1 \\T_{1}\left( x\right) = x \end{cases}
}\)
poza tym \(\displaystyle{ 0 \le m \le\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\)
Jak policzyć tę sumę ?
I jak wyglądałaby indukcja gdybyśmy chcieli pokazać że
\(\displaystyle{
T_{n}\left( x\right) = \sum_{m=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{\left( \left( {n-m \choose n-2m} + {n-m-1 \choose n-2m} \right) \cdot 2^{n-2m-1} \right)x^{n-2m} }
}\)
spełnia równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{
\begin{cases} T_{n}\left( x\right) = 2xT_{n-1}\left( x\right) - T_{n-2}\left( x\right) \qquad n \ge 2 \\ T_{0}\left( x\right) = 1 \\T_{1}\left( x\right) = x \end{cases}
}\)