Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{\left( 0,25\right)^{5- \frac{x}{4} } }=2^{ \sqrt{x+1}-4 } }\).
Zrobiłam w ten sposób:
\(\displaystyle{ x \ge -1.}\)
Po przekształceniach mam
\(\displaystyle{ 2^{-5+ \frac{x}{4} }=2^{ \sqrt{x+1}-4 }}\),
Porównuje teraz wykładniki:
\(\displaystyle{ -5+ \frac{x}{4}=\sqrt{x+1}-4,\\
-4+x=4 \sqrt{x+1} /\left( \right)^{2} ,\\
x^{2}-8x+16=16(x+1),\\
x^{2}-24x=0,\\
x=0 \vee x=24.
}\)
Dlaczego \(\displaystyle{ 0}\) nie spełnia równania?
Czy coś źle liczę?
Równanie wykładnicze z pierwiastkami
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1503
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 476 razy
Re: Równanie wykładnicze z pierwiastkami
Podnoszenie do kwadratu stronami nie zawsze jest przekształceniem równoważnym , wprowadziłaś obcy pierwiastek.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1503
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 476 razy
Re: Równanie wykładnicze z pierwiastkami
Możesz przekształcać metodą równań równoważnych , ale ja tam lubię metodę której użyłaś , tylko zawsze sprawdzaj na końcu wszystkich kandydatów czy naprawdę są rozwiązaniami . Pod linkiem możesz poczytać o tym więcej:
Kod: Zaznacz cały
https://www.medianauka.pl/metoda-analizy-starozytnych
Ostatnio zmieniony 18 lis 2023, o 20:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 89
- Rejestracja: 9 kwie 2017, o 16:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radomsko
- Pomógł: 5 razy
Re: Równanie wykładnicze z pierwiastkami
Można tak samo, ale trzeba zrobić założenie, dla którego obustronne podnoszenie do kwadratu daje równanie równoważne.
Nota bene, niespełnienie tego warunku w ogóle czyni równość bezsensowną. Czy pierwiastek kwadratowy (wg tradycyjnej, rzeczywistoliczbowej definicji) może być liczbą ujemną?
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równanie wykładnicze z pierwiastkami
Ja chyba czegoś nie rozumiem. Nie robię założeń, bo obie strony są dodatnie, bo mamy dwie funkcje wykładnicze o podstawach dodatnich. Zero nie będzie pasować. Jak się podstawi do oryginalnego równania to nie wychodzi.
Robię te same przekształcenia i wychodzi mi tak samo drugie równanie.
Aaa dobra, bo skoro mamy \(\displaystyle{ -4+x=4 \sqrt{x+1}}\) to albo obie strony są nieujemne albo obie zespolone. I dlatego \(\displaystyle{ x \ge 4}\). Ej a w ogóle dałoby się to zauważyć w początkowym równaniu?
A ciekawe czy to coś ma jakieś zespolone rozwiązania...
Robię te same przekształcenia i wychodzi mi tak samo drugie równanie.
Aaa dobra, bo skoro mamy \(\displaystyle{ -4+x=4 \sqrt{x+1}}\) to albo obie strony są nieujemne albo obie zespolone. I dlatego \(\displaystyle{ x \ge 4}\). Ej a w ogóle dałoby się to zauważyć w początkowym równaniu?
A ciekawe czy to coś ma jakieś zespolone rozwiązania...
-
- Użytkownik
- Posty: 89
- Rejestracja: 9 kwie 2017, o 16:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radomsko
- Pomógł: 5 razy
Re: Równanie wykładnicze z pierwiastkami
Poniekąd by się dało - wykładnik po prawej stronie, z racji posiadania owego pierwiastka, nie może być wszak "zbyt ujemny"