Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 20 lut 2023, o 03:13
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
Na wstępie przepraszam za ewentualny trywializm w zapytaniu oraz z góry dziekuję za pomoc i wyrozumiałość.
Pytanie:
Czy możliwe jest odwzorowanie zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) na zbiór liczb pierwszych \(\displaystyle{ P}\), w postaci jeden do jeden?
W przypadku działań elementarnych a szczególnie w przypadku mnożenia jest to niemożliwe do realizacji.
A co z innymi możliwymi funkcjami opisującymi wspólnie oba te zbiory.
Jak to sprawdzić i jak uzasadnić, gdyby taki związek istniał. Jaką obrać metodologię postępowania w celu dowodzenia.
Dla przykładu mam jakąś hipotetyczną funkcję \(\displaystyle{ f(n \in \NN)}\) opisujacą zbiór liczb \(\displaystyle{ \NN}\).
W jaki sposób mogę sprawdzić czy podana funkcja \(\displaystyle{ f(n)}\), również opisuje zbiór liczb pierwszych \(\displaystyle{ P}\).
Odwzorowanie
zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) na zbiór \(\displaystyle{ P}\),
jeden do jeden
dla \(\displaystyle{ f(n \in \NN) = f(p \in P)}\)
N - P
1- 2
2- 3
3- 5
4- 7
5-11
6-13
7-17
8-19
9-23
10-29
Pytanie:
Czy możliwe jest odwzorowanie zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) na zbiór liczb pierwszych \(\displaystyle{ P}\), w postaci jeden do jeden?
W przypadku działań elementarnych a szczególnie w przypadku mnożenia jest to niemożliwe do realizacji.
A co z innymi możliwymi funkcjami opisującymi wspólnie oba te zbiory.
Jak to sprawdzić i jak uzasadnić, gdyby taki związek istniał. Jaką obrać metodologię postępowania w celu dowodzenia.
Dla przykładu mam jakąś hipotetyczną funkcję \(\displaystyle{ f(n \in \NN)}\) opisujacą zbiór liczb \(\displaystyle{ \NN}\).
W jaki sposób mogę sprawdzić czy podana funkcja \(\displaystyle{ f(n)}\), również opisuje zbiór liczb pierwszych \(\displaystyle{ P}\).
Odwzorowanie
zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) na zbiór \(\displaystyle{ P}\),
jeden do jeden
dla \(\displaystyle{ f(n \in \NN) = f(p \in P)}\)
N - P
1- 2
2- 3
3- 5
4- 7
5-11
6-13
7-17
8-19
9-23
10-29
Ostatnio zmieniony 21 paź 2023, o 02:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .
-
- Administrator
- Posty: 34355
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
Tak.wnetzrobione pisze: ↑21 paź 2023, o 00:00 Czy możliwe jest odwzorowanie zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) na zbiór liczb pierwszych \(\displaystyle{ P}\), w postaci jeden do jeden?
Ale co "jest niemożliwe do realizacji"?wnetzrobione pisze: ↑21 paź 2023, o 00:00 W przypadku działań elementarnych a szczególnie w przypadku mnożenia jest to niemożliwe do realizacji.
Co to znaczy, że funkcja "wspólnie opisuje oba zbiory"?wnetzrobione pisze: ↑21 paź 2023, o 00:00A co z innymi możliwymi funkcjami opisującymi wspólnie oba te zbiory.
A co to miałoby znaczyć?wnetzrobione pisze: ↑21 paź 2023, o 00:00Dla przykładu mam jakąś hipotetyczną funkcję \(\displaystyle{ f(n \in \NN)}\) opisujacą zbiór liczb \(\displaystyle{ \NN}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1414
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
Metoda jest dokładnie taka, jaką zaproponowałeś: kolejnym liczbom naturalnym przypisujemy kolejne liczby pierwsze. Jest to poprawne podejście, gdyż zbiór liczb pierwszych jest nieskończony, a zatem:
Przypuśćmy, że dla liczb od \(\displaystyle{ 1,2}\) do \(\displaystyle{ n}\) ustawiliśmy początkowe liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n. }\) Ponieważ zbiór liczb pierwszych jest nieskończony, to istnieją inne liczby pierwsze ( w przeciwnym razie zbiór liczb pierwszych byłby równy \(\displaystyle{ \PP=\left\{ p _{1},p _{2}, \ldots, p _{n} \right\}}\), a więc byłby zbiorem skończonym- sprzeczność). Ponieważ ustawiliśmy początkowe liczby pierwsze, to te pozostałe liczby pierwsze muszą być większe od ostatniej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p _{n}.}\) A zatem, na mocy zasady minimum, istnieje najmniejsza liczba pierwsza w tym zbiorze. Ponieważ element najmniejszy jest tylko jeden, to otrzymujemy dobrze określony element \(\displaystyle{ p _{n+1} \in \PP; }\) i, na mocy twierdzenia o definiowaniu przez indukcje, otrzymujemy ciąg: \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \PP}\). Taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją\(\displaystyle{ .\square}\)
Przypuśćmy, że dla liczb od \(\displaystyle{ 1,2}\) do \(\displaystyle{ n}\) ustawiliśmy początkowe liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n. }\) Ponieważ zbiór liczb pierwszych jest nieskończony, to istnieją inne liczby pierwsze ( w przeciwnym razie zbiór liczb pierwszych byłby równy \(\displaystyle{ \PP=\left\{ p _{1},p _{2}, \ldots, p _{n} \right\}}\), a więc byłby zbiorem skończonym- sprzeczność). Ponieważ ustawiliśmy początkowe liczby pierwsze, to te pozostałe liczby pierwsze muszą być większe od ostatniej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p _{n}.}\) A zatem, na mocy zasady minimum, istnieje najmniejsza liczba pierwsza w tym zbiorze. Ponieważ element najmniejszy jest tylko jeden, to otrzymujemy dobrze określony element \(\displaystyle{ p _{n+1} \in \PP; }\) i, na mocy twierdzenia o definiowaniu przez indukcje, otrzymujemy ciąg: \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \PP}\). Taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją\(\displaystyle{ .\square}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 20 lut 2023, o 03:13
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
Re: Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
Dziękuję za wyjaśnienie.Jakub Gurak pisze: ↑21 paź 2023, o 11:01 Metoda jest dokładnie taka, jaką zaproponowałeś: kolejnym liczbom naturalnym przypisujemy kolejne liczby pierwsze. Jest to poprawne podejście, gdyż zbiór liczb pierwszych jest nieskończony, a zatem:
... Taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją\(\displaystyle{ .\square}\)
W rozwinięciu tego pytania, zastanawiam się na kilkoma opcjami, które jeszcze nie do końca rozumiem lub nie mogę ich połączyć w całość.
#1 Czy wiedząc, że możemy przypisać każdemu elementowi ze zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) elementy ze zbioru \(\displaystyle{ P}\), to istnieje funkcja arytmetyczna \(\displaystyle{ f(x)}\), której argumentami są elementy zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) a wynikiem są elementy zbioru \(\displaystyle{ P}\)?
#2 Czy istnieje taka funkcja arytmetyczna \(\displaystyle{ g(x)}\), która działając na zbiorze \(\displaystyle{ \NN}\), jako jej argumenty, w rezultacie otrzymamy elementy zbioru \(\displaystyle{ \NN}\), oraz czy stosując tą samą funkcję \(\displaystyle{ g(x)}\) na zbiorze \(\displaystyle{ P}\), jako jej argumenty otrzymamy w rezultacie elementy zbioru \(\displaystyle{ P}\).
\(\displaystyle{ g(x) = f(x \in \NN) = n \in \NN}\)
\(\displaystyle{ g(x) = f(x \in P) = p \in P}\)
Ostatnio zmieniony 22 paź 2023, o 12:12 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - umieszczaj w tagach [latex][/latex] wszystkie wyrażenia matematyczne.
Powód: Poprawa wiadomości - umieszczaj w tagach [latex][/latex] wszystkie wyrażenia matematyczne.
-
- Użytkownik
- Posty: 22239
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3760 razy
Re: Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
Mam wrażenie, że nie rozumiesz o co pytasz. Ja zresztą też. Odpowiedź na #2 brzmi TAK, taką funkcją jest funkcja identycznościowa.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 20 lut 2023, o 03:13
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
Re: Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
Patrząc na definicję, arytmetyka elementarna opisuje podstawowe działania na liczbach, zwłaszcza tych rzeczywistych, choć mówi się także o arytmetyce liczb kardynalnych czy porządkowych; działania uznawane za arytmetyczne to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie , a czasem też potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmy, W takim ujęciu patrzę na relację pomiędzy zbiorami N a zbiorem P.
Natomiast w uproszczeniu, nie mam tutaj na myśli działań związane z rozkładem losowym liczb, ich statystyką.
Dodano po 13 minutach 23 sekundach:
Szukam merytorycznej odpowiedzi na moje pytanie, na tym forum.
Czy możesz podać jakiś przykład dla takiej funkcji identyczności występującej dla zbioru N i P.
Ponieważ sama definicja jest dla mnie zbyt ogólna, nie do końca mogę ją zrozumieć.
Czy uda się znaleźć jakiś przykład z zastosowaniem liczb na ww. zbiorach.
Dziękuję
-
- Użytkownik
- Posty: 22239
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3760 razy
Re: Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
Cóż, żeby dostać merytoryczną odpowiedz, najpierw trzeba zadać dobrze sformułowane pytania. Niestety mam wrażenie, że nikt nie wie o co Ci chodzi.
Po prostu używasz nieprecyzyjnego języka i sformułowań, które nie mają w świecie matematyki określonego znaczenia.
Po prostu używasz nieprecyzyjnego języka i sformułowań, które nie mają w świecie matematyki określonego znaczenia.
Ostatnio zmieniony 22 paź 2023, o 19:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 20 lut 2023, o 03:13
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
Re: Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
Na tą chwilę nie umiem inaczej zadać pytania, jak to które już zadałem, chociaż uważam, że jest ono dość czytelne.
Rozumiem, że dalej już więcej się nie dowiem odnośnie relacji, funkcji występujących pomiędzy dwoma zbiorami N i P i w tym wypadku pozostaje mi dalsze, samodzielne szukanie odpowiedzi.
Za okazaną dotychczasową pomoc i wsparcie ze strony tego forum, jeszcze raz DZIĘKUJĘ.
Postaram się dalej zgłębiać ten nie prosty, jak dla mnie obszar wiedzy matematycznej, ale na tyle interesujący mnie, że od dłuższego czasu zajmuję się nim, mimo moich ułomności w jego pojmowaniu.
Dziękuję i pozdrawiam Was.
Rozumiem, że dalej już więcej się nie dowiem odnośnie relacji, funkcji występujących pomiędzy dwoma zbiorami N i P i w tym wypadku pozostaje mi dalsze, samodzielne szukanie odpowiedzi.
Za okazaną dotychczasową pomoc i wsparcie ze strony tego forum, jeszcze raz DZIĘKUJĘ.
Postaram się dalej zgłębiać ten nie prosty, jak dla mnie obszar wiedzy matematycznej, ale na tyle interesujący mnie, że od dłuższego czasu zajmuję się nim, mimo moich ułomności w jego pojmowaniu.
Dziękuję i pozdrawiam Was.
-
- Administrator
- Posty: 34355
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
Nie "funkcji identyczności", tylko funkcji identycznościowej, zadanej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x.}\) Jest tylko jedna funkcja identycznościowa, więc ciężko mówić o "jakimś" przykładzie, poza tym jest to przykład trywialny.wnetzrobione pisze: ↑22 paź 2023, o 13:25 Czy możesz podać jakiś przykład dla takiej funkcji identyczności występującej dla zbioru N i P.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 14 sie 2010, o 12:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 3 razy
Re: Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
Podejrzewam, że pytającemu chodzi po prostu o jawny wzór przypisujący kolejnym liczbom naturalnym kolejne liczby pierwsze.
-
- Administrator
- Posty: 34355
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Odwzorowanie zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb pierwszych
Raczej o jawny wzór, korzystający tylko z "działań arytmetycznych", który - wedle mojej wiedzy - nie jest znany.
Można też przeczytać to:
Można też przeczytać to:
Kod: Zaznacz cały
http://www.matematyka.wroc.pl/ciekawieomatematyce2/czy-istnieje-wzor-na-n-ta-liczbe-pierwsza
Ostatnio zmieniony 23 paź 2023, o 06:33 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Aktywny link do strony zewnętrznej
Powód: Aktywny link do strony zewnętrznej