Trzech graczy

[mol_ksiazkowy]

Trzech graczy gra w "orzeł - reszka" . Pierwszy zawsze obstawia orła a drugi zawsze reszkę, a trzeci dowolnie (każdy 1 zł). Pula wygranej jest równo dzielona dla tych którzy poprawnie obstawili. Jakie są szanse trzeciego gracza (przy dłuższej ilości gier)

[wnetzrobione]

Wynik takiej gry dla gracza numer [3] wynosi \(\displaystyle{ \frac14}\) czyli \(\displaystyle{ 25\%.}\)

Warunki gry, które naleźy zachować:
Pierwszy gracz [1] zawsze obstawia O.
Dugi gracz [2] zawsze obstawia R.
Trzeci gracz [3] dowolnie obstawia (O lub R).

Analiza wszystkich wyników gry:
Gracze
[1]--[2]--[3]
O O O
O O R
O R O - sprzyjające warunki gry
O R R - sprzyjające warunki gry.
R O O
R O R
R R O
R R R

Podsumowanie:
Z pośród wszystkich 3-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru dwuelementowego \(\displaystyle{ \{O,R\}.}\)
Łącznie jest ich \(\displaystyle{ 8}\), tylko \(\displaystyle{ 2}\) spełniają nasze zadane warunki gry (po redukcji otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac14}\) sprzyjającą szansę dla gracza nr [3]).


Ps.
Za każdym razem dostępna jest nowa pula \(\displaystyle{ 3\,\text{zł}}\).
Pula z całej gry to wielokrotność tej kwoty.
Ustalając \(\displaystyle{ k}\) jako ilość rozgrywek, całkowita pula gry wynosi \(\displaystyle{ k\cdot 3\,\text{zł}.}\)
Wtedy szacowana wygrana [3] gracza wynosi \(\displaystyle{ \frac14 \cdot k \cdot 3\,\text{zł}.}\)

Przykład:
Trzech graczy \(\displaystyle{ 100}\) razy zagrało w grę, zgodnie ze wskazanymi regułami.
Gracz nr [3] wygrał \(\displaystyle{ \frac14 \cdot 100\cdot 3\,\text{zł} = 75\,\text{zł}.}\)
Całkowita pula gry, ostatecznie wyniosła \(\displaystyle{ 100 \cdot 3\,\text{zł} = 300\,\text{zł}.}\)

[Jan Kraszewski]

Podsumowanie:
Z pośród wszystkich 3-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru dwuelementowego \(\displaystyle{ \{O,R\}.}\)
Łącznie jest ich \(\displaystyle{ 8}\), tylko \(\displaystyle{ 2}\) spełniają nasze zadane warunki gry (po redukcji otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac14}\) sprzyjającą szansę dla gracza nr [3]).

Jakoś mnie to nie przekonuje.

JK

[a4karo]

Po prostu komuś pomyliło się prawdopodobieństwo z wartością oczekiwana.
Prawdopodobieństwo wygranej w pojedynczym rzucie to oczywiście `1/2`. A oczekiwana wygrana to `1/4` puli, bo niezależnie od wyniku połowę trzeba oddać innemu graczowi.

[Dasio11]

Raczej nie chodzi o tego typu pomyłkę, bo proponowane rozwiązanie jest zupełnie bez sensu.

[wnetzrobione]

Raczej nie chodzi o tego typu pomyłkę, bo proponowane rozwiązanie jest zupełnie bez sensu.

Jak zawsze w takim przypadku, poproszę o wskazanie sensownego rozwiązania, jeżeli proponowane rozwiązanie jest bez sensu.
Dziękuję i czekam z niecierpliwością.
Pozdrawiam

Dodano po 43 minutach 24 sekundach:

Po prostu komuś pomyliło się prawdopodobieństwo z wartością oczekiwana.
Prawdopodobieństwo wygranej w pojedynczym rzucie to oczywiście `1/2`. A oczekiwana wygrana to `1/4` puli, bo niezależnie od wyniku połowę trzeba oddać innemu graczowi.

A czy moje podane rozwiązanie, nie zawiera właśnie tych dwóch pojęć, poniżej postaram się to udowodnić.
Moje rozumowanie polega na tym:

Ad. 1/2 - to tak mamy tutaj do czynienia z prawdopodobieństwem, rzutu monetą {O,R} jednakże mamy też w tej grze 3 graczy i każdy z nich obstawia wynik według podanych kryteriów. Wystarczy zbudować drzewo dla wszystkich możliwych wyników, co uczyniłem.

Ad. 1/4 puli to oczekiwana wygrana.
Czy aby na pewno o to chodzi?
Moja analiza dla pojedynczej rozgrywki:
Jeżeli gracz nr [1] wygra, to z automatu gracz nr [2] przegra, pozostaje w takim wypadku jeszcze rozstrzygnięcie wygranej gracza nr [3], a on może wygrać lub przegrać niezależnie od wyniku dla pozostałych graczy.
Jeżeli gracz nr [3] wygra to dzieli się dostępną pulą po połowie, czyli 1/2 z graczem nr [1] a nie w 1/4, ponieważ według mnie 1/4 wynika z samego drzewa możliwych wariacji z powtórzeniami.
Dlaczego?
Ponieważ gracz nr [3] dostaje 1,5 zł z puli 3 zł, tak samo gracz nr [1] otrzyma 1,5 zł z puli 3 zł.
Natomiast jeżeli gracz nr [3] przegra to nic nie otrzymuje.
Obecnie tak to widzę.

[Dasio11]

Jak zawsze w takim przypadku, poproszę o wskazanie sensownego rozwiązania

Proszę:

Prawdopodobieństwo wygranej w pojedynczym rzucie to oczywiście `1/2`. A oczekiwana wygrana to `1/4` puli, bo niezależnie od wyniku połowę trzeba oddać innemu graczowi.

[wnetzrobione]

Rozumiem to, jednak dalej w takim przypadku poproszę o wskazanie w moim rozwiązaniu ewentualnego błędu, bo na tą chwilę ja go nie widzę, ponieważ budując drzewo {O,R} dla każdej możliwej 3 elementowej wariacji z powtórzeniami, otrzymuję taki sam wynik. Według mnie to co przedstawia moje rozumowanie jest jak najbardziej poprawne, ponieważ dokładnie wskazuję jak powstaje ten wynik tj. 1/4.
Dziękuję

[krl]

Jasne, że a4karo odpowiedział dobrze. Choć dla niektórych rozwiązanie bez sążnistych wzorów i rachunków nie jest satysfakcjonujące...

@wnetzrobione: Twój błąd polega na tym, że zupełnie arbitralnie (nawet bez definicji) wybierasz 2 spośród 8 możliwych wyników trzech rzutów monetą i nazywasz je "sprzyjającymi". Same wyniki trzech rzutów to jednak za malo, by określić wyniki trzech tur gry. W każdej turze gracz 3 dodatkowo wybiera O lub R (łącznie na 8 sposobów) i dopiero to określa wynik trzech rund gry. Łącznie są więc \(\displaystyle{ 8\times 8=64}\) przypadki.
Chciałbym jednak zwrócić uwagę na samo sformułowanie zadania:
"Jakie są szanse trzeciego gracza (przy dużej liczbie rzutów)?"
Dlatego ja bym odpowiedział tak:
Przy dużej liczbie rzutów w ok. połowie przypadków trzeci gracz trafi ze swoim wyborem (gdyż prawdodobieństwo trafienia w pojedynczym rzucie wynosi 1/2), tym samym zgarnie ok. 1/4 łącznej puli nagród w tych rzutach (gdyż wartość oczekiwana jego wygranej w pojedynczym rzucie równa się 1/4 puli w pojedynczym rzucie).
W języku rachunku prawdopodobieństwa: wartość oczekiwana liczby trafień gracza 3 w \(\displaystyle{ k}\) rundach gry wynosi \(\displaystyle{ k/2}\), zaś wartośc oczekiwana łącznej wygranej \(\displaystyle{ k\times w/4}\), gdzie \(\displaystyle{ w}\) to pula wygranych w jednej turze gry.

[Jan Kraszewski]

@wnetzrobione: Twój błąd polega na tym, że zupełnie arbitralnie (nawet bez definicji) wybierasz 2 spośród 8 możliwych wyników trzech rzutów monetą i nazywasz je "sprzyjającymi". Same wyniki trzech rzutów to jednak za malo, by określić wyniki trzech tur gry.

Wg mnie wnetzrobione nie rozpatrywał wcale trzech tur gry, tylko jedną.

JK

[krl]

@Jan Kraszewski: Tak, chyba masz rację. Wtedy np. trójka O-R-O oznacza, że gracz 1 obstawił O, gracz 2 - R, zaś gracz 3 - O. Biorąc pod uwagę warunki zadania sa tu tylko dwie możliwosci obstawień wyników: O-R-O i O-R-R. Zaś wynik tej jednej tury gry zależy od tego, czy wypadnie O czy R. Razem są 4 mozliwości. Gracz 3 wygrywa w dwóch z nicch, a wartość oczekiwana jego wygranej to 1/4 puli.

wnetzrobione liczył nie szansę trafienia gracza 3, lecz szansę, że jeden z losowo wybranych wyników obstawień gracz 1 - gracz 2 - gracz 3 (gdzie obstawiają dowolnie O lub R) spełnia warunki zadania.

[a4karo]

Czym innym są wyniki rzutu, a czym innym jest to, jak obstawiają gracze. A to, jak obstawiają, nie ma żądnego wpływy na prawdopodobieństwo, natomiast istotnie wpływa na podział puli nagród. Dlatego napisałem, że autor myli prawdopodobieństwo z wartością oczekiwaną. Zauważcie, że w tej grze wartość oczekiwana dla pierwszego i drugiego gracza wynosi połowę puli.