Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
41421356
Użytkownik
Posty: 547 Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 501 razy
Pomógł: 5 razy
Post
autor: 41421356 » 12 paź 2023, o 23:57
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami dodatnimi to zachodzi:
\(\displaystyle{ 3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)\geq 8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-10}\)
Jak to wykazać bez używania funkcji kwadratowej?
janusz47
Użytkownik
Posty: 7942 Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1681 razy
Post
autor: janusz47 » 13 paź 2023, o 11:13
Jeśli przekształcimy tę nierówność do nierówności kwadratowej, to otrzymamy dwie różne nierówności na \(\displaystyle{ a, b. }\)
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34542 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5226 razy
Post
autor: Jan Kraszewski » 13 paź 2023, o 14:12
Ale po co dwie? Lepiej przekształcić to wyrażenie i zrobić podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}.}\) Wtedy jest jedna nierówność i wiemy, że \(\displaystyle{ t\ge 2.}\)
JK
janusz47
Użytkownik
Posty: 7942 Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1681 razy
Post
autor: janusz47 » 13 paź 2023, o 14:26
Wtedy
\(\displaystyle{ (a-b)^2 \geq 0 }\) - PRAWDA
Druga nierówność:
\(\displaystyle{ 0 < \frac{a^2+b^2}{ab} \leq \frac{2}{3} }\)
41421356
Użytkownik
Posty: 547 Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 501 razy
Pomógł: 5 razy
Post
autor: 41421356 » 15 paź 2023, o 11:05
A jak to wykazać bez używania funkcji kwadratowej?
a4karo
Użytkownik
Posty: 22292 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3768 razy
Post
autor: a4karo » 15 paź 2023, o 11:24
janusz47 pisze: ↑ 13 paź 2023, o 14:26
Wtedy
\(\displaystyle{ (a-b)^2 \geq 0 }\) - PRAWDA
Druga nierówność:
\(\displaystyle{ 0 < \frac{a^2+b^2}{ab} \leq \frac{2}{3} }\)
Tyle że ta druga nierówność nigdy nie jest prawdziwa
janusz47
Użytkownik
Posty: 7942 Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1681 razy
Post
autor: janusz47 » 15 paź 2023, o 15:15
A kto powiedział, że jest prawdziwa?
a4karo
Użytkownik
Posty: 22292 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3768 razy
Post
autor: a4karo » 15 paź 2023, o 16:44
janusz47 pisze: ↑ 15 paź 2023, o 15:15
A kto powiedział, że jest prawdziwa?
No toś rozwiązał zadanie. I'm full of podziff