całka oznaczona

[klimat]

Oblicz
\(\displaystyle{ \int^1_0\left(\sqrt{(x-1)^3+1}+x^{2/3}-(1-x)^{3/2}-\sqrt[3]{1-x^2}\right)dx}\)

[arek1357]

Całki z pierwszego i ostatniego składnika sprowadzają się do funkcji Beta, a ze środkowych składników to banał...

\(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^3+1} = \sqrt{1-(1-x)^3} }\)

\(\displaystyle{ (1-x)^3=t}\)

\(\displaystyle{ x=1-t^{ \frac{1}{3} }}\)

\(\displaystyle{ dx=- \frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3} } dt}\)

czyli będzie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int_{0}^{1} t^{ \frac{1}{3}-1 }(1-t)^{ \frac{3}{2}-1 }dt=\frac{1}{3} \frac{\Gamma( \frac{1}{3} ) \cdot \Gamma( \frac{3}{2} )}{\Gamma( \frac{1}{3}+ \frac{3}{2} )}}\)


Druga skrajna całka podobnie

\(\displaystyle{ x^2=t }\)

\(\displaystyle{ dx= \frac{1}{2}t^{- \frac{1}{2} } dt}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt[3]{1-x^2} dx= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{- \frac{1}{2} }(1-t)^{ \frac{1}{3} }=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{ \frac{1}{2}-1 }(1-t)^{ \frac{4}{3}-1 }=\frac{1}{2} \frac{\Gamma( \frac{1}{2} ) \cdot \Gamma( \frac{4}{3} )}{\Gamma( \frac{1}{2}+ \frac{4}{3} )} }\)

[klimat]

No raczej bez jakiś betów. Bo w podpowiedzi jest, aby wykazać

\(\displaystyle{ \int^1_0\left(\sqrt{(x-1)^3+1}-\sqrt[3]{1-x^2}\right)dx=0}\) wykorzystując wykres \(\displaystyle{ y^2 = (x − 1)^3 + 1}\) na \(\displaystyle{ (0,0)\times(1,1).}\)

[Janusz Tracz]

No raczej bez jakiś betów. Bo w podpowiedzi jest, aby wykazać...

A napisałeś podpowiedź z której mieliśmy korzystać na początku? Czy mieliśmy się wszyscy domyśleć? Rozwiązanie z funkcję beta też działa.

W ogólności, korzystając z

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_inverse_functions

Integral of inverse functions

\(\displaystyle{ \int^b_a f(x) \, dx + \int^{f(b)}_{f(a)} f^{-1} (x) \, dx = b f(b) - a f(a).}\)

Łatwo pokazać, że

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt[ \alpha ]{1-x^ \beta } \dd x + \int_{1}^{0} \sqrt[ \beta ]{1-x^ \alpha } \dd x = 0 }\)

czyli

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt[ \alpha ]{1-x^ \beta } \dd x = \int_{0}^{1} \sqrt[ \beta ]{1-x^ \alpha } \dd x. }\)

To praktycznie rozwiązuje zadanie. Wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x-1=-t}\) w pierwszej całce. Uprosić. I banalne całki ze środka policzyć.

[Niepokonana]

No przecież wystarczy rozbić pierwiastek sumy (czy tam różnicę) na sumę pierwiastków i potem z górki.

[arek1357]

Nie wiem co ludzie mają do betów ale to raczej stan umysłu bardziej ...

Dodano po 2 godzinach 21 minutach 8 sekundach:

No przecież wystarczy rozbić pierwiastek sumy (czy tam różnicę) na sumę pierwiastków i potem z górki.

Rozwiń te myśl bo nie kumam o co ci chodzi...

[a4karo]

Podpowiem ci: to taki inteligentny żarcik.

Dodano po 19 minutach 15 sekundach:
Swoją drogą, jak już się lubi Bety i Gammy, to trzeba było to rozwiązanie trochę dalej pociągnąć:
Pierwsza całka\(\displaystyle{ =\frac{1}{3} \frac{\Gamma( \frac{1}{3} ) \cdot \Gamma( \frac{3}{2} )}{\Gamma( \frac{1}{3}+ \frac{3}{2} )}=\frac{1}{2\cdot3} \frac{\Gamma( \frac{1}{3} ) \cdot \Gamma( \frac{1}{2} )}{\Gamma( \frac{11}{6})}}\)

Druga całka\(\displaystyle{ =\frac{1}{3} \frac{\Gamma( \frac{4}{3} ) \cdot \Gamma( \frac{1}{2} )}{\Gamma( \frac{1}{2}+ \frac{4}{3} )}=\frac{1}{2\cdot3} \frac{\Gamma( \frac{1}{3} ) \cdot \Gamma( \frac{1}{2} )}{\Gamma( \frac{11}{6})}}\)

I tutaj może się włączyć myślenie: dlaczego te dwie całki są równe?

[arek1357]

Oczywiście można ciągnąć i to co zrobiłeś jest dydaktyczne ale po co się wysilać i coś robić do końca za kogoś ,
Jak już skróciło się to to jeszcze bardziej kawa na ławę , że skorzystał ze wzoru:

\(\displaystyle{ \Gamma(x+1)=x \Gamma(x)}\)

ale sam autor tego wątku nie dość, że od początku za bardzo się nie określił to do tego wszystko mu zostało podane na talerzu i w takich przypadkach nie warto się wysilać...Już nie raz to zauważyłem

Bardziej mnie zainteresowało co ma Niepokonana na myśli i chciałbym, żeby tę myśl rozwinęła...

A tu nie dość, że się za autora myśli, to jeszcze za Niepokonaną, której czasem trudno samej jest się określić...

A ja jako człowiek niedouczony i niekumaty myśl Niepokonanej rozkminiam tak:

Że jej chodzi o to, że:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a \pm b} = \sqrt[n]{a} \pm \sqrt[n]{b} }\)

Zawsze się czegoś nowego nauczę...

Dodano po 1 minucie 55 sekundach:
Wtedy liczenie całek bardzo się uprości

Dodano po 18 sekundach:
Szczególnie niewymiernych

[a4karo]

A ja jako człowiek niedouczony i niekumaty myśl Niepokonanej rozkminiam tak:

Że jej chodzi o to, że:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a \pm b} = \sqrt[n]{a} \pm \sqrt[n]{b} }\)

Zawsze się czegoś nowego nauczę...

Dodano po 1 minucie 55 sekundach:
Wtedy liczenie całek bardzo się uprości

Dodano po 18 sekundach:
Szczególnie niewymiernych

Nie wierzysz w Niepokonaną. No chyba, że na jej uczelni uczą już czarnkowej matematyki, gdzie wszystko ma być proste.

[arek1357]

np:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt[4]{1+x} dx = \int_{}^{} \sqrt[4]{1}dx+ \int_{}^{} \sqrt[4]{x}dx=

\int_{}^{}1 dx+ \int_{}^{} x^{ \frac{1}{4} }dx=x+ \frac{4}{5}x^{ \frac{5}{4} } +C}\)

Jednak matematyka jest bardzo łatwa...

Niepokonana dzięki za korepetycje...

Problem trudnych całek eliptycznych zostanie już niedługo do końca rozwiązany a wzór na obwód elipsy każdy se policzy...

[Mariusz M]

ale sam autor tego wątku nie dość, że od początku za bardzo się nie określił to do tego wszystko mu zostało podane na talerzu i w takich przypadkach nie warto się wysilać...Już nie raz to zauważyłem

A ja mam przykład gdzie użytkownika zignorowałeś gdy podał obliczenia a w tylko w dwóch miejscach się zatrzymał
więc z tego wynika że co, najlepiej w ogóle nie odpowiadać ?
(Oczywiście zgodnie z twoim rozumowaniem)

[arek1357]

Możliwe ale nikt nie jest doskonały a poza tym "milion" razy więcej się spotkałem z przypadkiem gdzie podając komuś coś na talerzu a nawet w misce ktoś nie podziękował nawet. A taki wyjątek jak słusznie napisałeś może potwierdzić regułę...

Zobacz tylko ile mam razy podziękował w opisie to mówi wiele...