Czworokąty przekątniowe

[mol_ksiazkowy]

Ile czworokątów przekątniowych generuje \(\displaystyle{ n}\) kąt wypukły tj. takich, że wierzchołkami są dowolne z wierzchołków \(\displaystyle{ n}\) kąta, a wszystkie jego boki są przekątnymi \(\displaystyle{ n}\) kąta (ale nie bokami) .

[arek1357]

Hint:

z każdego wierzchołka \(\displaystyle{ n}\) - kąta wychodzi:

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n-7} \sum_{i=1}^{j} i}\)

Czworokątów...

[kinia7]

Wg Twojego wzoru w ośmiokącie wychodzi 1 czworokąt, a rzeczywistości jest ich 2

[mol_ksiazkowy]

I jakie będzie uogólnienie na \(\displaystyle{ m}\)-kąty przekątniowe

[arek1357]

Ja podałem wzór na ilość czworokątów wychodzących z jednego wierzchołka, które potem trzeba pomnożyć przez ilość wierzchołków i podzielić przez powtarzające się...

Dodano po 3 minutach 51 sekundach:
\(\displaystyle{ 1 \cdot 8:4=2}\)

Dodano po 11 godzinach 40 minutach 25 sekundach:
Tak samo jak się liczy ilość przekątnych w czworokącie wypukłym jest tu spora analogia...

Dodano po 26 sekundach:
Tę podwójną sumę zwinąć to nie wielki problem...

[kerajs]

I jakie będzie uogólnienie na \(\displaystyle{ m}\)-kąty przekątniowe

\(\displaystyle{ {n-m-1 \choose m-1} \frac{n}{4} \ \ \ \ \ }\) dla \(\displaystyle{ \ \ \ \ (n \ge 2m) \wedge (n \ge 8) }\)
oraz \(\displaystyle{ 0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\)

[arek1357]

Dla niedowiarków:

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n-7} \sum_{i=1}^{j}i= {n-5 \choose 3} = \frac{(n-5)(n-6)(n-7)}{6} }\)

Druga sprawa tam w tym wzorze powinno być w mianowniku nie \(\displaystyle{ 4}\) tylko \(\displaystyle{ m}\) a propo uogólnienia. bo czwórka jest tylko dla szczególnego przypadku

[kerajs]

Druga sprawa tam w tym wzorze powinno być w mianowniku nie \(\displaystyle{ 4}\) tylko \(\displaystyle{ m}\) a propo uogólnienia. bo czwórka jest tylko dla szczególnego przypadku

Tak, ta czwórka to literówka. Pierwotna wersja była mniej więcej taka:

Ukryta treść:    

Dla danego wierzchołka liczba czworokątów zbudowanych z przekątnych i go zawierających jest taka sama jak liczba rozwiązań równania: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=n-4}\) w liczbach naturalnych dodatnich.
Szukana liczba czworokątów to \(\displaystyle{ {n-4-1 \choose 4-1} \frac{n}{4} }\) , gdyż każda czwórka była wybierana czterokrotnie, gdy danym był jeden z jej wierzchołków.
W uogólnieniu wystarczy zamienić każdą 4 na m dostając:
\(\displaystyle{ {n-m-1 \choose m-1} \frac{n}{4} \ \ \ \ \ }\) dla \(\displaystyle{ \ \ \ \ (n \ge 2m) \wedge (n \ge 8) }\) oraz \(\displaystyle{ 0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\)

Niestety, kopiując pominąłem ten mianownik, a potem skasowałem większość postu. Faktycznie, powinno być:


\(\displaystyle{ {n-m-1 \choose m-1} \frac{n}{m} \ \ \ \ \ }\) dla \(\displaystyle{ \ \ \ \ (n \ge 2m) \wedge (n \ge 8) }\) oraz \(\displaystyle{ 0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\)