Dla jakich liczb naturalnych liczba jest całkowita
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Dla jakich liczb naturalnych liczba jest całkowita
Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c}\) liczba \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) jest całkowita
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Dzielenie
Liczba \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) jest całkowita dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c}\), jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) spełniają pewne warunki. To są te warunki:
1. Liczba \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2-1}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\), czyli:
\[a^2+b^2+c^2-1 \equiv 0 \pmod{(1+a)(1+b)(1+c)}.\]
2. \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\) nie może być równe 0, więc \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) nie mogą być równa (-1).
3. Jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) lub \(\displaystyle{ c}\) wynoszą 0, to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) również będzie całkowite.
4. Jeśli \(\displaystyle{ a=b=c=1}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) wynosi 0.
Podsumowując, liczba \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) jest całkowita dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c}\), które spełniają te warunki.
1. Liczba \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2-1}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\), czyli:
\[a^2+b^2+c^2-1 \equiv 0 \pmod{(1+a)(1+b)(1+c)}.\]
2. \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\) nie może być równe 0, więc \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) nie mogą być równa (-1).
3. Jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) lub \(\displaystyle{ c}\) wynoszą 0, to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) również będzie całkowite.
4. Jeśli \(\displaystyle{ a=b=c=1}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) wynosi 0.
Podsumowując, liczba \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) jest całkowita dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c}\), które spełniają te warunki.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Dzielenie
Ten warunek nic nie wnosi - to jest teza zapisana innymi słowamiDynia5 pisze: ↑18 sie 2023, o 23:24 Liczba \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) jest całkowita dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c}\), jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) spełniają pewne warunki. To są te warunki:
1. Liczba \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2-1}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\), czyli:
\[a^2+b^2+c^2-1 \equiv 0 \pmod{(1+a)(1+b)(1+c)}.\]
Warto czytać założenia
2. \(\displaystyle{ (1+a)(1+b)(1+c)}\) nie może być równe 0, więc \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\) nie mogą być równa (-1).
Na przykład dla `a=0, b=1` wyrażenie jest równe \(\displaystyle{ \frac{c^2}{2(1+c)}}\) i rzadko kiedy jest całkowite3. Jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) lub \(\displaystyle{ c}\) wynoszą 0, to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) również będzie całkowite.
Z dodawaniem też krucho4. Jeśli \(\displaystyle{ a=b=c=1}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\) wynosi 0.
-
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Dla jakich liczb naturalnych liczba jest całkowita
Podstawmy
\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=3}\), \(\displaystyle{ c=12}\) zgodnie z zasadą którą przedstawiłem powyżej.
\(\displaystyle{ \frac{4+9+144-1}{3\cdot 4\cdot 13} = \frac{156}{156} =1}\)
\(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=8}\), \(\displaystyle{ c=72}\)
\(\displaystyle{ \frac{9+64+5184-1}{4\cdot 9\cdot 73} = \frac{5256}{2628} =2}\)
...
Dodano po 15 godzinach 1 minucie 56 sekundach:
Dołożę jeszcze inny warunek
\(\displaystyle{ b= a^{2} \cdot ( a^{2} -1) }\), \(\displaystyle{ c=a ^{2} \cdot (a ^{2} -1)^{2} }\) wynik ten sam \(\displaystyle{ a-1}\)
Dodano po 11 minutach 43 sekundach:
\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=2 ^{2} \cdot( 2 ^{2}-1)=12 }\), \(\displaystyle{ c=2 ^{2} \cdot (2 ^{2} -1) ^{2}=36 }\)
\(\displaystyle{ \frac{4+144+1296-1}{1 \cdot 11 \cdot 35}= \frac{1443}{1443} =1 }\)
\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=3}\), \(\displaystyle{ c=12}\) zgodnie z zasadą którą przedstawiłem powyżej.
\(\displaystyle{ \frac{4+9+144-1}{3\cdot 4\cdot 13} = \frac{156}{156} =1}\)
\(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=8}\), \(\displaystyle{ c=72}\)
\(\displaystyle{ \frac{9+64+5184-1}{4\cdot 9\cdot 73} = \frac{5256}{2628} =2}\)
...
Dodano po 15 godzinach 1 minucie 56 sekundach:
Dołożę jeszcze inny warunek
\(\displaystyle{ b= a^{2} \cdot ( a^{2} -1) }\), \(\displaystyle{ c=a ^{2} \cdot (a ^{2} -1)^{2} }\) wynik ten sam \(\displaystyle{ a-1}\)
Dodano po 11 minutach 43 sekundach:
\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=2 ^{2} \cdot( 2 ^{2}-1)=12 }\), \(\displaystyle{ c=2 ^{2} \cdot (2 ^{2} -1) ^{2}=36 }\)
\(\displaystyle{ \frac{4+144+1296-1}{1 \cdot 11 \cdot 35}= \frac{1443}{1443} =1 }\)
Ostatnio zmieniony 20 sie 2023, o 19:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Re: Dla jakich liczb naturalnych liczba jest całkowita
Jeszcze musisz wykazać, że inne trójki niż wymienione nie zadziałają. To nie jest pytanie, aby pokazać, że takich trójek jest nieskończenie wiele, ale znaleźć wszystkie z nichBrombal pisze: ↑21 sie 2023, o 06:29 Podstawmy
\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=3}\), \(\displaystyle{ c=12}\) zgodnie z zasadą którą przedstawiłem powyżej.
\(\displaystyle{ \frac{4+9+144-1}{3\cdot 4\cdot 13} = \frac{156}{156} =1}\)
\(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=8}\), \(\displaystyle{ c=72}\)
\(\displaystyle{ \frac{9+64+5184-1}{4\cdot 9\cdot 73} = \frac{5256}{2628} =2}\)
...
Dodano po 15 godzinach 1 minucie 56 sekundach:
Dołożę jeszcze inny warunek
\(\displaystyle{ b= a^{2} \cdot ( a^{2} -1) }\), \(\displaystyle{ c=a ^{2} \cdot (a ^{2} -1)^{2} }\) wynik ten sam \(\displaystyle{ a-1}\)
Dodano po 11 minutach 43 sekundach:
\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=2 ^{2} \cdot( 2 ^{2}-1)=12 }\), \(\displaystyle{ c=2 ^{2} \cdot (2 ^{2} -1) ^{2}=36 }\)
\(\displaystyle{ \frac{4+144+1296-1}{1 \cdot 11 \cdot 35}= \frac{1443}{1443} =1 }\)
Dodano po 5 dniach 20 godzinach 2 minutach 41 sekundach:
Ukryta treść: