Gęstość zmiennej losowej - egzamin aktuarialny

[Wiktoria Wozniak]

Dzień dobry,
Mam problem z poniższym zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ [0,\frac{\pi}{2}),}\) a \(\displaystyle{ Y}\) zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ [0;1).}\) Zakładamy, że zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.
Zdefiniujmy: \(\displaystyle{ Z= \begin{cases} X, \space \text{jeśli} \space Y<\sin^2{x} \\ \frac{\pi}{2}+X, \space \text{jeśli} \space Y>\sin^2{x} \end{cases} }\)
Zmienna \(\displaystyle{ Z}\) przyjmuje wartości ze zbioru \(\displaystyle{ (0,\pi)}\) i ma gęstość:
(a) \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{2}\sin z}\)
(b) \(\displaystyle{ f(z)=\frac{2}{\pi}\cos^2{z}}\)
(c) \(\displaystyle{ f(z)=\frac{2}{\pi}\sin^2{z}}\)
(d) \(\displaystyle{ f(z)=\frac{3}{4\pi}\sin^3{z}}\)
(e) Żadne z pozostałych

Nie wiem jak uwzględnić \(\displaystyle{ \space Y<\sin^2{x}}\) oraz \(\displaystyle{ Y>\sin^2{x} }\) w szukaniu gęstości zmiennej Z. Proszę o pomoc.
PS: Prawidłowa odpowiedź to (c).

[a4karo]

Popraw zapisy. Czym jest `x`.?

[Wiktoria Wozniak]

Oczywiście wszystkie \(\displaystyle{ x}\) powinny być \(\displaystyle{ X,}\) tj.
\(\displaystyle{ Z= \begin{cases} X, \space \text{jeśli} \space Y < \sin^2{X} \\ \frac{\pi}{2}+X, \space \text{jeśli} \space Y >\sin^2{X} \end{cases} }\)
gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową pochodzącą z rozkładu jednostajnego na przedziale \(\displaystyle{ [0;\frac{\pi}{2})}\).

Przepraszam za pomyłkę.

[janusz47]

\(\displaystyle{ Z= \begin{cases} X, \space \text{jeśli} \space Y < \sin^2{X} \ \ (a) \\ \frac{\pi}{2}+X, \space \text{jeśli} \space Y >\sin^2{X} \ \ (b) \end{cases} }\)

1.
Funkcja gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X \sim U \left( \left [0, \frac{\pi}{2}\right) \right) \ \ f_{X}(x) = \ \ ...}\)

Funkcja gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y \sim U \left( \left (0, 1) \right) \right) \ \ f_{Y}(y) = \ \ ...}\)

2.
Dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ F_{X}(x) = \ \ ... }\)

Gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z }\) znajdujemy metodą dystrybuanty.

3.
\(\displaystyle{ Y = \sin^2(X) }\)

(a)
\(\displaystyle{ P(y< Y) = F_{Y}(y) = [ 0 < y <1] = P(\sin^2(x)\leq y) = P( X \leq ...) = F_{X}(...) = \ \ ...}\)

\(\displaystyle{ f_{Z} (z) = \ \ ...}\)

(b)
Podobnie (zdarzenie przeciwne).

[Wiktoria Wozniak]

1.
Funkcja gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X \sim U \left( \left [0, \frac{\pi}{2}\right) \right) \ \ f_{X}(x) = \frac{2}{\pi}, \text{dla } \space 0 \le x<\frac{\pi}{2}}\)

Funkcja gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y \sim U \left( \left (0, 1) \right) \right) \ \ f_{Y}(y) = 1, \text{dla } \space 0 \le y <1}\)

2.
Dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ F_{X}(x) = \frac{2x}{\pi}, \text{dla} \space 0 \le x <\frac{\pi}{2} }\)

3.
Czy chcemy wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ P(Y<\sin^2{X})}\)=\(\displaystyle{ P(-\sin{X}< \sqrt{Y}<\sin{X}) }\)?

[janusz47]

\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ 0 > x \\ \frac{2}{\pi} \ \ \text{dla} \ \ 0\leq x < \frac{\pi}{2} \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ F_{X}(x) = \begin{cases} 0 > x \\ \frac{2}{\pi}x \ \ \text{dla} \ \ 0\leq x < \frac{\pi}{2} \\ 1 \ \ \text{dla} \ \ x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ Y \sim U([0,1))}\)

\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ 0 \leq y \\ 1 \ \ \text{dla} \ \ 0 < y < 1 \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ y \geq 1 \end{cases} }\)

(3)
\(\displaystyle{ P(Y < \sin^2(X))= P( X < \arcsin(-\sqrt{Y})) + P( X > \arcsin(\sin( \sqrt{Y})) = F_{X}(\arcsin(-\sqrt{y})) + 1 - F_{X}(\arcsin(\sqrt{y})), \ \ 0< y <1.}\)

[Wiktoria Wozniak]

Proszę mnie poprawić, w którym miejscu popełniam błąd?

\(\displaystyle{ P(Y<\sin^2{X})=P(-\sin{X}< \sqrt{Y}<\sin{X})= }\)
\(\displaystyle{ = P( \sqrt{Y}<\sin{X})-P(-\sin{X}< \sqrt{Y}) = }\)
\(\displaystyle{ = P(\sin{X}> \sqrt{Y} )-P(\sin{X}>- \sqrt{Y} ) = }\)
\(\displaystyle{ = P(X>\arcsin{( \sqrt{Y} }) )-P(X>\arcsin{(- \sqrt{Y} }) ) }\)

Dodano po 8 dniach 41 minutach 26 sekundach:
Czy teraz jest dobrze?

\(\displaystyle{ P(Y<\sin^2{X})=P(- \sqrt{Y}<\sin{X}<\sqrt{Y})= }\)
\(\displaystyle{ = P( \sin{X}<\sqrt{Y})-P(\sin{X}< -\sqrt{Y}) = }\)
\(\displaystyle{ = P(X<\arcsin{( \sqrt{Y} }) )-P(X<\arcsin{(- \sqrt{Y} }) ) }\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ P(Y < \sin^2(X)) = P(|\sin(X)|> \sqrt{Y}) = P(\sin(X) < -\sqrt{Y}) + P(\sin(X) > \sqrt{Y}) = P( X < -arc(\sqrt{Y})) + P( X > arc(\sqrt{Y}))= ...}\)

[Wiktoria Wozniak]

Rozumiem. Dziękuję.

Czyli mamy:

\(\displaystyle{ P(Y<\sin^2{X})=1-F_X(\arcsin{(\sqrt{Y})})+F_X(\arcsin{(-\sqrt{Y})})=1-\frac{2}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}+\frac{2}{\pi}\arcsin{(-\sqrt{Y})}=}\)
(Arcsin również jest funkcją nieparzystą)
\(\displaystyle{ =1-\frac{2}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}-\frac{2}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}=1-\frac{4}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}}\)

oraz

\(\displaystyle{ P(Y>\sin^2{X})=\frac{4}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}}\)

[janusz47]

Z definicji i własności wartości bezwzględnej (modułu) wynikają nierówności:

\(\displaystyle{ (|A|< a) \leftrightarrow (-a < A < a), }\)

\(\displaystyle{ (|A|>a) \leftrightarrow (A<-a \vee A >a). }\)

[Wiktoria Wozniak]

Z definicji i własności wartości bezwzględnej (modułu) wynikają nierówności:

\(\displaystyle{ (|A|< a) \leftrightarrow (-a < A < a), }\)

\(\displaystyle{ (|A|>a) \leftrightarrow (A<-a \vee A >a). }\)

Tak, oczywiście, wcześniejsze pytanie zadałam zanim zobaczyłam Pańską edycję posta.

Dodano po 28 sekundach:

Rozumiem. Dziękuję.

Czyli mamy:

\(\displaystyle{ P(Y<\sin^2{X})=1-F_X(\arcsin{(\sqrt{Y})})+F_X(\arcsin{(-\sqrt{Y})})=1-\frac{2}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}+\frac{2}{\pi}\arcsin{(-\sqrt{Y})}=}\)
(Arcsin również jest funkcją nieparzystą)
\(\displaystyle{ =1-\frac{2}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}-\frac{2}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}=1-\frac{4}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}}\)

oraz

\(\displaystyle{ P(Y>\sin^2{X})=\frac{4}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}}\)

Czy to jest ok?

[janusz47]

OK!

[Wiktoria Wozniak]

OK!

Świetnie, dziękuję. To teraz kolejne pytanie: jak to się ma do gęstości zmiennej Z?

[a4karo]

Rozumiem. Dziękuję.

Czyli mamy:

\(\displaystyle{ P(Y<\sin^2{X})=1-F_X(\arcsin{(\sqrt{Y})})+F_X(\arcsin{(-\sqrt{Y})})=1-\frac{2}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}+\frac{2}{\pi}\arcsin{(-\sqrt{Y})}=}\)
(Arcsin również jest funkcją nieparzystą)
\(\displaystyle{ =1-\frac{2}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}-\frac{2}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}=1-\frac{4}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}}\)

oraz

\(\displaystyle{ P(Y>\sin^2{X})=\frac{4}{\pi}\arcsin{(\sqrt{Y})}}\)

Czy to jest ok?

A sprawdziłaś czemu jest równe `F_X(\arcsin(-\sqrt{Y}))`?

[Wiktoria Wozniak]

Jest równe 0?