Udowodnij nierówność
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11619
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
Re: Udowodnij nierówność
Jeśli chcesz podnosić swoje umiejętności w rozwiązywaniu zadań to musisz wkładać nieco więcej wysiłku w pracy nad nimi...
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1551
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 341 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Udowodnij nierówność
Najprościej jest rozwinąć sinusa w szereg i wtedy od razu widać co jak i dlaczego, ale domyślam się, że jak pochodne nie to szereg tym bardziej.
Jak dla mnie te dowody są troszkę chaotyczne, ale to dlatego, że są to dowody geometryczne bez rysunku.
A tak właściwie to po co to liczysz, w sensie w liceum pani w szkole kazała?
Jak dla mnie te dowody są troszkę chaotyczne, ale to dlatego, że są to dowody geometryczne bez rysunku.
A tak właściwie to po co to liczysz, w sensie w liceum pani w szkole kazała?
-
- Użytkownik
- Posty: 7941
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1681 razy
Re: Udowodnij nierówność
\(\displaystyle{ x - x^3 < \sin(x) < x, \ \ x>0.}\)
Dowód
Niech \(\displaystyle{ \phi(x) = x - x^3, \ \ \psi(x) = \sin(x), \ \ \eta(x) = x.}\)
Mamy \(\displaystyle{ \phi(0) = \psi(0) = \eta(0) = 0, }\)
\(\displaystyle{ \phi'(x) = 1 - 3x^2, }\)
\(\displaystyle{ \psi'(x) = \cos(x), }\)
\(\displaystyle{ \eta'(x) = 1. }\)
Zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ \phi'(x)< \psi'(x) < \eta'(x) }\)
\(\displaystyle{ 1 - 3x^2 < \cos(x) < 1,}\)
dla
\(\displaystyle{ x>0 }\) i \(\displaystyle{ x\neq 2k\pi, \ \ k = 1,2,...,}\)
oraz
dla \(\displaystyle{ x = 2k\pi }\)
\(\displaystyle{ 2k\pi - 8k^3\pi^3 <1 < 2k\pi, \ \ k=1,2,..., }\)
\(\displaystyle{ 2k\pi\left( 1 - 4k^2\pi^2\right) < 1 < 2k\pi,}\)
to jest
\(\displaystyle{ \phi(2k\pi) < \psi(2k\pi) < \eta(2k\pi), \ \ k=1,2,...}\)
\(\displaystyle{ \Box }\)
Dodano po 24 minutach 3 sekundach:
Uwaga.
Do pełności dowodu tych nierówności brakuje powołania się na lemat:
Jeśli funkcje \(\displaystyle{ \phi(x), \psi(x) }\) są przynajmniej \(\displaystyle{ n }\) krotnie różniczkowalne i \(\displaystyle{ \phi^{(k)}(x_{0}) = \psi^{(k)}(x_{0}) }\) dla \(\displaystyle{ k = 0,1,2,...,(n-1) }\) i \(\displaystyle{ \phi^{(n)}(x) > \psi^{(n)}(x) }\) dla \(\displaystyle{ x> x_{0}, }\) to prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ \phi(x) > \psi(x), }\) dla \(\displaystyle{ x>x_{0}.}\)
Dowód wynika z twierdzenia Lagrange'a.
Dowód
Niech \(\displaystyle{ \phi(x) = x - x^3, \ \ \psi(x) = \sin(x), \ \ \eta(x) = x.}\)
Mamy \(\displaystyle{ \phi(0) = \psi(0) = \eta(0) = 0, }\)
\(\displaystyle{ \phi'(x) = 1 - 3x^2, }\)
\(\displaystyle{ \psi'(x) = \cos(x), }\)
\(\displaystyle{ \eta'(x) = 1. }\)
Zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ \phi'(x)< \psi'(x) < \eta'(x) }\)
\(\displaystyle{ 1 - 3x^2 < \cos(x) < 1,}\)
dla
\(\displaystyle{ x>0 }\) i \(\displaystyle{ x\neq 2k\pi, \ \ k = 1,2,...,}\)
oraz
dla \(\displaystyle{ x = 2k\pi }\)
\(\displaystyle{ 2k\pi - 8k^3\pi^3 <1 < 2k\pi, \ \ k=1,2,..., }\)
\(\displaystyle{ 2k\pi\left( 1 - 4k^2\pi^2\right) < 1 < 2k\pi,}\)
to jest
\(\displaystyle{ \phi(2k\pi) < \psi(2k\pi) < \eta(2k\pi), \ \ k=1,2,...}\)
\(\displaystyle{ \Box }\)
Dodano po 24 minutach 3 sekundach:
Uwaga.
Do pełności dowodu tych nierówności brakuje powołania się na lemat:
Jeśli funkcje \(\displaystyle{ \phi(x), \psi(x) }\) są przynajmniej \(\displaystyle{ n }\) krotnie różniczkowalne i \(\displaystyle{ \phi^{(k)}(x_{0}) = \psi^{(k)}(x_{0}) }\) dla \(\displaystyle{ k = 0,1,2,...,(n-1) }\) i \(\displaystyle{ \phi^{(n)}(x) > \psi^{(n)}(x) }\) dla \(\displaystyle{ x> x_{0}, }\) to prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ \phi(x) > \psi(x), }\) dla \(\displaystyle{ x>x_{0}.}\)
Dowód wynika z twierdzenia Lagrange'a.
-
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Re: Udowodnij nierówność
Tej nierówności bez uzasadnienia nikt nie kupijanusz47 pisze: ↑23 wrz 2023, o 20:41 \(\displaystyle{ x - x^3 < \sin(x) < x, \ \ x>0.}\)
Dowód
Niech \(\displaystyle{ \phi(x) = x - x^3, \ \ \psi(x) = \sin(x), \ \ \eta(x) = x.}\)
Mamy \(\displaystyle{ \phi(0) = \psi(0) = \eta(0) = 0, }\)
\(\displaystyle{ \phi'(x) = 1 - 3x^2, }\)
\(\displaystyle{ \psi'(x) = \cos(x), }\)
\(\displaystyle{ \eta'(x) = 1. }\)
Zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ \phi'(x)< \psi'(x) < \eta'(x) }\)
\(\displaystyle{ 1 - 3x^2 < \cos(x) < 1,}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Re: Udowodnij nierówność
Ale Ty, proponując taka drogę dowodu, powinieneś to uzasadnić. W przeciwnym razie po co dowodzić, skoro można powiedzieć, że tak po prostu jest?
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1551
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 341 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Udowodnij nierówność
Autor nie musi rozumieć lol co z tego, że to dla niego liczymy.
Ja z pochodnymi miałam prostszy pomysł, ale myślałam, że za długi, ale skoro Janusz dowalił to czemu by nie.
Oczywiście rozważam wszystko w przedziale \(\displaystyle{ (0,1]}\), no bo bądźmy szczerzy za jedynką widać na oko. W jedynce prawa strona jest jedynką, lewa zerem, a sinus jest gdzieś po środku i ten trend się potem pogłębia (no widać że za jedynką \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) jest funkcją ściśle malejącą ujemną).
Wszystkie trzy funkcje (tak wiem, nieformalnie, ale wiadomo o co chodzi) mają w zerze tę samą wartość.\(\displaystyle{ x}\) ma pochodną stale równą \(\displaystyle{ 1}\), a \(\displaystyle{ \sin x}\) ma pochodną \(\displaystyle{ \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ \cos x}\) jest prawie wszędzie mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\). \(\displaystyle{ x}\) ma większą pochodną, \(\displaystyle{ x}\) rośnie szybciej, "startują" w tym samym miejscu, \(\displaystyle{ x}\) jest większy od \(\displaystyle{ \sin x}\).
Teraz lewa strona i środek. \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma pochodną \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\). W zerze pochodne mają tę samą wartość, obie są funkcjami wszędzie ciągłymi, a \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) maleje do zera szybciej niż \(\displaystyle{ \cos x}\), obie są od zera do jedynki ściśle malejące. A że żadna z nich nie ma żadnych dziwnych punktów siodłowych ani nic takiego, to okazuje się, że \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) od zera do jeden jest prawie wszędzie mniejsze od \(\displaystyle{ \cos x}\), czyli \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma mniejszą pochodną, wolniej rośnie od sinusa.
Chaotycznie i mało formalnie ale mam nadzieję, że zrozumiale. Idea jest taka, że funkcja z największą pochodną będzie w tym szczególnym przypadku największa, co oczywiście nie zawsze zachodzi.
Jak coś to poprawię rano.
Dodano po 2 minutach 50 sekundach:
Ta nierówność co janusz47 napisał przechodzi, bo są to pochodne ciągłe i monotoniczne, gdyby przypadkiem któraś z nich była nieciągła to by nie przeszło.
Ja z pochodnymi miałam prostszy pomysł, ale myślałam, że za długi, ale skoro Janusz dowalił to czemu by nie.
Oczywiście rozważam wszystko w przedziale \(\displaystyle{ (0,1]}\), no bo bądźmy szczerzy za jedynką widać na oko. W jedynce prawa strona jest jedynką, lewa zerem, a sinus jest gdzieś po środku i ten trend się potem pogłębia (no widać że za jedynką \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) jest funkcją ściśle malejącą ujemną).
Wszystkie trzy funkcje (tak wiem, nieformalnie, ale wiadomo o co chodzi) mają w zerze tę samą wartość.\(\displaystyle{ x}\) ma pochodną stale równą \(\displaystyle{ 1}\), a \(\displaystyle{ \sin x}\) ma pochodną \(\displaystyle{ \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ \cos x}\) jest prawie wszędzie mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\). \(\displaystyle{ x}\) ma większą pochodną, \(\displaystyle{ x}\) rośnie szybciej, "startują" w tym samym miejscu, \(\displaystyle{ x}\) jest większy od \(\displaystyle{ \sin x}\).
Teraz lewa strona i środek. \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma pochodną \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\). W zerze pochodne mają tę samą wartość, obie są funkcjami wszędzie ciągłymi, a \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) maleje do zera szybciej niż \(\displaystyle{ \cos x}\), obie są od zera do jedynki ściśle malejące. A że żadna z nich nie ma żadnych dziwnych punktów siodłowych ani nic takiego, to okazuje się, że \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) od zera do jeden jest prawie wszędzie mniejsze od \(\displaystyle{ \cos x}\), czyli \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma mniejszą pochodną, wolniej rośnie od sinusa.
Chaotycznie i mało formalnie ale mam nadzieję, że zrozumiale. Idea jest taka, że funkcja z największą pochodną będzie w tym szczególnym przypadku największa, co oczywiście nie zawsze zachodzi.
Jak coś to poprawię rano.
Dodano po 2 minutach 50 sekundach:
Ta nierówność co janusz47 napisał przechodzi, bo są to pochodne ciągłe i monotoniczne, gdyby przypadkiem któraś z nich była nieciągła to by nie przeszło.
-
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Re: Udowodnij nierówność
Janusz nie dowalił, tylko zamachał rękami nad najistotniejszą częścią dowodu.Niepokonana pisze: ↑24 wrz 2023, o 03:13 Autor nie musi rozumieć lol co z tego, że to dla niego liczymy.
Ja z pochodnymi miałam prostszy pomysł, ale myślałam, że za długi, ale skoro Janusz dowalił to czemu by nie.
Na oko można umrzeć w szpitalu. W matematyce rzeczy się dowodzi
Oczywiście rozważam wszystko w przedziale \(\displaystyle{ (0,1]}\), no bo bądźmy szczerzy za jedynką widać na oko. W jedynce prawa strona jest jedynką, lewa zerem, a sinus jest gdzieś po środku i ten trend się potem pogłębia (no widać że za jedynką \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) jest funkcją ściśle malejącą ujemną).
Sztuczna inteligencja by tak mogła napisać. Słyszałaś termin "prawie wszędzie", więc użyłaś. Niby poprawnie, ale dość bez sensu.
Wszystkie trzy funkcje (tak wiem, nieformalnie, ale wiadomo o co chodzi) mają w zerze tę samą wartość.\(\displaystyle{ x}\) ma pochodną stale równą \(\displaystyle{ 1}\), a \(\displaystyle{ \sin x}\) ma pochodną \(\displaystyle{ \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ \cos x}\) jest prawie wszędzie mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\). \(\displaystyle{ x}\) ma większą pochodną, \(\displaystyle{ x}\) rośnie szybciej, "startują" w tym samym miejscu, \(\displaystyle{ x}\) jest większy od \(\displaystyle{ \sin x}\).
A niby dlaczego maleje szybciej? Skąd to wiesz? Robisz dokładnie to, co Janusz.
Teraz lewa strona i środek. \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma pochodną \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\). W zerze pochodne mają tę samą wartość, obie są funkcjami wszędzie ciągłymi, a \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) maleje do zera szybciej niż \(\displaystyle{ \cos x}\),
Czy to samo powiesz o funkcji `1-x^2`? A o funkcji `1-x^2/2`? A o funkcji `1-x^2/3`? Bo te dwie pierwsze rzeczywiście maleją szybciej, ale ta trzecia już nie.
I znów AI. Punkt siodłowy to rzeczywiście termin matematyczny. Ale w przypadku funkcji jednej zmiennej nic nie znaczy.
obie są od zera do jedynki ściśle malejące. A że żadna z nich nie ma żadnych dziwnych punktów siodłowych ani nic takiego,
I nie zgodzę się, że żadna z tych funkcji nie ma nic takiego, bo każda z mich ma coś takiego jednak.
Czekaj, czekaj. Albo zachodzi i wtedy korzystasz, albo nie zachodzi i wtedy nie możesz skorzystaćto okazuje się, że \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) od zera do jeden jest prawie wszędzie mniejsze od \(\displaystyle{ \cos x}\), czyli \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma mniejszą pochodną, wolniej rośnie od sinusa.
Chaotycznie i mało formalnie ale mam nadzieję, że zrozumiale. Idea jest taka, że funkcja z największą pochodną będzie w tym szczególnym przypadku największa, co oczywiście nie zawsze zachodzi.
Dodano po 4 minutach 56 sekundach:
@janusz47
A czy mógłbyś tu przytoczyć ten dowód z użyciem tw. Lagrange'a?janusz47 pisze: ↑23 wrz 2023, o 20:41
Uwaga.
Do pełności dowodu tych nierówności brakuje powołania się na lemat:
Jeśli funkcje \(\displaystyle{ \phi(x), \psi(x) }\) są przynajmniej \(\displaystyle{ n }\) krotnie różniczkowalne i \(\displaystyle{ \phi^{(k)}(x_{0}) = \psi^{(k)}(x_{0}) }\) dla \(\displaystyle{ k = 0,1,2,...,(n-1) }\) i \(\displaystyle{ \phi^{(n)}(x) > \psi^{(n)}(x) }\) dla \(\displaystyle{ x> x_{0}, }\) to prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ \phi(x) > \psi(x), }\) dla \(\displaystyle{ x>x_{0}.}\)
Dowód wynika z twierdzenia Lagrange'a.
Ostatnio zmieniony 24 wrz 2023, o 13:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7941
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1681 razy
Re: Udowodnij nierówność
Nie wiem po co, jeszcze coś "dowalać".
Przyjmujemy dla funkcji \(\displaystyle{ u^{(n-1)}(x) = \phi^{(n-1)}(x) - \psi^{(n-1)}(x) }\) twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej na odcinku \(\displaystyle{ [x_{0}, x ] }\)
\(\displaystyle{ u^{(n-1)}(x) - u^{(n-1)}(x_{0})= u^{(n)}(\xi)(x-x_{0}), \ \ \xi\in [x_{0}, x]. }\)
Uwzględniając założenia: \(\displaystyle{ \phi^{(k)}(x_{0})= \psi^{(k)}(x_{0}) (k=0,1,...,(n-1)), \ \ \phi^{(n)}(x)> \psi^{(n)}(x) }\) dla \(\displaystyle{ x>x_{0} }\) - otrzymujemy \(\displaystyle{ u^{(n-1)}(x)>0 \ \ (x > x_{0}).}\)
Analogicznie korzystając z tego twierdzenia- wykazujemy, że \(\displaystyle{ u^{(n-2)}(x) >0 }\) itd... \(\displaystyle{ u(x)>0, }\) to jest \(\displaystyle{ \phi(x)> \psi(x) }\) dla \(\displaystyle{ x>x_{0}.}\)
Przyjmujemy dla funkcji \(\displaystyle{ u^{(n-1)}(x) = \phi^{(n-1)}(x) - \psi^{(n-1)}(x) }\) twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej na odcinku \(\displaystyle{ [x_{0}, x ] }\)
\(\displaystyle{ u^{(n-1)}(x) - u^{(n-1)}(x_{0})= u^{(n)}(\xi)(x-x_{0}), \ \ \xi\in [x_{0}, x]. }\)
Uwzględniając założenia: \(\displaystyle{ \phi^{(k)}(x_{0})= \psi^{(k)}(x_{0}) (k=0,1,...,(n-1)), \ \ \phi^{(n)}(x)> \psi^{(n)}(x) }\) dla \(\displaystyle{ x>x_{0} }\) - otrzymujemy \(\displaystyle{ u^{(n-1)}(x)>0 \ \ (x > x_{0}).}\)
Analogicznie korzystając z tego twierdzenia- wykazujemy, że \(\displaystyle{ u^{(n-2)}(x) >0 }\) itd... \(\displaystyle{ u(x)>0, }\) to jest \(\displaystyle{ \phi(x)> \psi(x) }\) dla \(\displaystyle{ x>x_{0}.}\)
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1551
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 341 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Udowodnij nierówność
No fakt, mój język taki trochę nieczłowieczy. Niestety głupia analiza 3 nadal we mnie siedzi także no.
Ehhh no prośba, dla dużych iksów ta nierówność jest widoczna, bo od pewnego \(\displaystyle{ x_{0}}\), \(\displaystyle{ x}\) jest nieograniczone z góry, \(\displaystyle{ x-x^{3} }\) jest nieograniczone z dołu, a sinus jest ograniczony i z góry i z dołu. Także udowadnianie tego na całej prostej to trochę BDSM.
\(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) maleje do zera na drodze od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{3} }}\) co jest mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{\pi }{2} }\), żadna z tych funkcji nie ma punktów przegięcia (ale a4karo ma ich pełno), więc skoro \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) szybciej maleje do zera, to \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma słabszą pochodną od sinusa. Działa to, bo obie te pochodne są gładkie i monotoniczne na rozważanym przedziale. No nwm co tu więcej dodać. Funkcje startują w tym samym punkcie, ta z prawej ma największą pochodną, z lewej najmniejszą. Poza tym to jest pewnie dowód dla pani w szkole, więc już bez przesady z tym formalizmem.
a4karo ty jesteś po prostu stary zgorzkniały, czepiasz się na siłę, gdyby nie twoja relacja z kraszewskim to byś został wywalony z forum już dawno. Na poziom liceum moje uzasadnienie wystarczy. Gdyby to było zadanie ze studiów to bym się bawiła bardziej.
Ehhh no prośba, dla dużych iksów ta nierówność jest widoczna, bo od pewnego \(\displaystyle{ x_{0}}\), \(\displaystyle{ x}\) jest nieograniczone z góry, \(\displaystyle{ x-x^{3} }\) jest nieograniczone z dołu, a sinus jest ograniczony i z góry i z dołu. Także udowadnianie tego na całej prostej to trochę BDSM.
\(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) maleje do zera na drodze od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{3} }}\) co jest mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{\pi }{2} }\), żadna z tych funkcji nie ma punktów przegięcia (ale a4karo ma ich pełno), więc skoro \(\displaystyle{ 1-3x^{2}}\) szybciej maleje do zera, to \(\displaystyle{ x-x^{3}}\) ma słabszą pochodną od sinusa. Działa to, bo obie te pochodne są gładkie i monotoniczne na rozważanym przedziale. No nwm co tu więcej dodać. Funkcje startują w tym samym punkcie, ta z prawej ma największą pochodną, z lewej najmniejszą. Poza tym to jest pewnie dowód dla pani w szkole, więc już bez przesady z tym formalizmem.
a4karo ty jesteś po prostu stary zgorzkniały, czepiasz się na siłę, gdyby nie twoja relacja z kraszewskim to byś został wywalony z forum już dawno. Na poziom liceum moje uzasadnienie wystarczy. Gdyby to było zadanie ze studiów to bym się bawiła bardziej.
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2023, o 01:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5762
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 528 razy
Re: Udowodnij nierówność
No i dobrze, że zauważasz pewne sprawy...gdyby nie twoja relacja z kraszewskim to byś został wywalony z forum już dawno.
Ja bym jednak dodał:
J. Kraszewski przez szacunek i uznanie...którym go darzę a co by mnie nikt nie posądzał, że obrażam ludzi tylko poglądy...
-
- Użytkownik
- Posty: 3446
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1007 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnij nierówność
Ok, a jak wzmocnić tę nierówność do \(\displaystyle{ x- \frac{1}{6}x^3<\sin x }\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) bo ponoć się da? Tylko bez pochodnych.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11619
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
Re: Udowodnij nierówność
w I cwiartce:
\(\displaystyle{ \sin(x) > x \cos(x) = x(1-2\sin^{2} \frac{x}{2} ) > x (1- 2 (\frac{x}{2})^2 )= x- \frac{1}{2} x^3}\) i można wzmocnić analizując
\(\displaystyle{ \sin(x) > x - a_nx^3 }\) z ciągiem zbieżnym do \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\).
\(\displaystyle{ \sin(x) > x \cos(x) = x(1-2\sin^{2} \frac{x}{2} ) > x (1- 2 (\frac{x}{2})^2 )= x- \frac{1}{2} x^3}\) i można wzmocnić analizując
\(\displaystyle{ \sin(x) > x - a_nx^3 }\) z ciągiem zbieżnym do \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\).
nawet gdy jest zmęczony...Ślepy koń zauważy, że: \(\displaystyle{ \cos(x ) > 1-3x^2 }\)