Tym bardziej czuję się teraz jak barbarzyńca ze swoimi sinusami.
Parafrazując bowiem wypowiedź Marka Kordosa - używać trygonometrii do zadań geometrycznych to jak jeść rybę nożem i widelcem: też się niby człowiek naje, ale nie za bardzo wypada.
waral pisze:aaa, czyli jednak coś trzeba było przeliczać miałem nadzieję na dorysowanie jakichś punktów albo prostej z kosmosu, no ale to i tak lepsze niż sinusy;d dzięki.
Nic nie trzeba było przeliczać. Oto przykładowe nierachunkowe rozwiązanie (wklejam to, bo akurat to mam wklepane):
Ukryta treść:
Rozważmy prostą \(\displaystyle{ l\|AB}\), przechodzącą przez \(\displaystyle{ S}\). Niech \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) będą punktami przecięcia prostej \(\displaystyle{ AB}\) z dwusiecznymi kątów \(\displaystyle{ ACD}\) i \(\displaystyle{ BCD}\), zaś \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) odpowiednio punktami przecięcia prostej \(\displaystyle{ l}\) z tymi dwusiecznymi. Przez \(\displaystyle{ A_0,B_0,C_0}\) oznaczmy punkty symetryczne do punktów odpowiednio \(\displaystyle{ A,B,C}\) względem punktu \(\displaystyle{ S}\).
Wybierzmy takie punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) na odcinku \(\displaystyle{ CC_0}\), ze \(\displaystyle{ CM=AC}\) oraz \(\displaystyle{ CN=BC}\). Prosta \(\displaystyle{ CE}\) jest symetralną odcinka \(\displaystyle{ AM}\), jako dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACM}\) trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ ACM}\).
Ponadto prosta \(\displaystyle{ l}\) jest symetralna odcinka \(\displaystyle{ AB_0}\), zatem punkt \(\displaystyle{ E}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ AB_0M}\). Analogicznie dowodzimy, ze punkt \(\displaystyle{ F}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ A_0BN}\).
Z warunków zadania wynika, że \(\displaystyle{ CM+CN=CC_0}\). Stad \(\displaystyle{ SM=SN}\), więc trójkąt \(\displaystyle{ A_0BN}\) jest obrazem trójkąta \(\displaystyle{ AB_0M}\) w symetrii środkowej względem punktu \(\displaystyle{ S}\). To dowodzi, ze \(\displaystyle{ SE=SF}\), jak również, na mocy twierdzenia Talesa, \(\displaystyle{ DP=DQ}\).
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ O_A}\) i \(\displaystyle{ O_B}\) środki okręgów wpisanych w trójkąty odpowiednio \(\displaystyle{ ADC}\) i \(\displaystyle{ BDC}\), zaś przez \(\displaystyle{ r_A}\) oraz \(\displaystyle{ r_B}\) promienie okręgów wpisanych w te trójkąty. Punkt \(\displaystyle{ O_A}\) lezy na odcinku \(\displaystyle{ PC}\), a \(\displaystyle{ O_B}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ CQ}\)\(\displaystyle{ }\). Na mocy twierdzenia o dwusiecznej, zastosowanego do dwusiecznych kątów \(\displaystyle{ CDP}\) i \(\displaystyle{ CDQ}\), zachodzą następujące równości: \(\displaystyle{ \frac{CO_A}{PO_A}=\frac{CD}{DP}=\frac{CD}{DQ}=\frac{CO_B}{QO_B}}\),
z których wnioskujemy, ze \(\displaystyle{ O_AO_B\|PQ}\), co prowadzi do wniosku \(\displaystyle{ r_A=r_B}\), czyli do tezy.
generalnie chodzi o to, że podstawiasz sobie
a = a'k
b = b'k
c = c'k
i jeśli nierówność jest jednorodna (po obu stronach takie same potęgi) to wszystkie k się skrócą. no i teraz dobierasz sobie takie k, żeby zmienne a', b' i c' miały jakieś fajne własności (suma wynosiła 1, itp.). wywalając wszystkie primy dostajesz gratis dodatkowe założenie.
i to wszystko kryje się w sformułowaniu "z jednorodności b.s.o. możemy przyjąć"
ale wartość wyrażenia mogę sobie przyjąć jaką chcem? jaka mi się przyda do rozwiązania, np zarówno 1 jak i miliard trzysta osiemdziesiąt trzy jak mi się przyda?
a np. mogłbym wziąć, że abc=1 albo a/(bc)=1 czy tam inne takie 'kombinacje'?
dzięki wielkie, w szkole się to raczej nie przyda, na OM za cienki jestem, ale warto wiedzieć
Dumel pisze:ósme też mi się spodobało. nie rozumiem tylko po co bym warunek że n jest naturalne. troche dziwne byłoby dawanie takiej śmiesznej zmyłki aby niektórzy sie babrali z indukcją (fuuu) ale nie widze innej motywacji.
No wiesz, ja w moim rozwiązaniu korzystam z założenia, że n jest naturalne. Za wszystkie n w średniej potęgowej po prawej stronie nierówności podstawiam k i podnosze do k-tej potęgi.
Dowiodłem najpierw, że powstała nierówność zachodzi dla k=1 , a potem że jeśli zachodzi dla k nie mniejszego od n, to również dla k+1. Dowód był estetyczny i nie trzeba było kożystać po drodze z jakiejkolwiek szczególnej nierówności. Tak więc tą drogą też można było
Ostatnio zmieniony 2 lis 2009, o 17:04 przez Prastaruszek, łącznie zmieniany 1 raz.
Prastaruszek pisze:Stopień pierwiastka oznaczyłem liczbą naturalną k, podniosłem do k-tej potęgi I dowiodłem że dla k nie mniejszego niż n+1 nierównośc zachodzi - Dowiodłem najpierw, że zachodzi dla k=1 , a potem że jeśli zachodzi dla k nie mniejszego od n, to również dla k+1.
Mógłbyś rozwinąć?
Czy dobrze rozumiem, że udowadniałeś indukcyjnie, że: \(\displaystyle{ \left( \frac{a^{n+1}}{b+c}+\frac{b^{n+1}}{c+a}+\frac{c^{n+1}}{a+b}\right)^k \geq \left( \frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b}\right)^k \cdot \frac{a^k+b^k+c^k}{3}}\)
?
Moje 8:
Wszystko na lewą stronę, parując takimi samymi mianownikami, zauważam że to co mam po lewej stronie jest symetryczne, więc zakładam, że \(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\) wtedy ta srednia potegowa jest niewieksza od \(\displaystyle{ a}\) i niemniejsza od \(\displaystyle{ c}\), kazdy mianownik zamieniam na \(\displaystyle{ a+c}\) zmniejszajac to co mam po lewej stronie, w liczniku otrzymuje cos co jest latwo udowodnic ze jest wieksze od 0. Koniec
A wracając do 5, wie ktoś wkońcu jak wyznaczyć te miejsca styku kuli wpisanej w czworościan z jego ścianami? Wiem, że 5 się bez tego obchodzi, ale może się ta własność przydać...
pog pisze:Z jednorodności bez straty ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ a^n+b^n+c^n=3}\)
Czyżbym coś przegapił?
Zadanie 8 pisze:Dowieść, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c i liczby całkowitej \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność: (...)
Gdyby \(\displaystyle{ n}\) mogłoby być równe 0 lub dowolne rzeczywiste, to założenie byłoby prawdziwe, ale w tym przypadku wystarczy wziąć np. dowolne \(\displaystyle{ a,b,c}\) takie, że \(\displaystyle{ a \ge b \ge c>1}\) i założenie będzie fałszywe, bo suma zawsze będzie większa niż 3. Skąd więc takie założenie?
P.S.
Przyłączam się do pytania o sferę wpisaną w czworościan, czy można w miarę ogólnie określić położenie jej środka? Jakoś analitycznie, czy może np. przy pomocy rzutów na siatkę konkretnych odcinków czy dwusiecznych otrzymamy położenie (rzut) środka? Bo szukałem w różnych miejscach internetu, po polsku i angielsku i nic nie znalazłem?
Pozdrawiam
Co do środka wpisanego w czworościan - mogę się mylić, ale jest to chyba punkt wspólny płaszczyzn dwusiecznych każdych kątów dwuściennych w danym czworościanie
