Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich
-
- Użytkownik
- Posty: 3446
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1007 razy
- Pomógł: 3 razy
Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich
Udowodnić, że jeśli suma \(\displaystyle{ n}\) liczb dodatnich jest równa \(\displaystyle{ n}\), to ich iloczyn jest mniejszy lub równy \(\displaystyle{ 1}\).
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Będę korzystał z indukcji matematycznej. W pierwszym kroku sprawdzam twierdzenie dla \(\displaystyle{ n=1}\). Z \(\displaystyle{ 1=1}\) wynika, że \(\displaystyle{ 1 \le 1}\), zatem to jest prawda. W drugim kroku zakładam, że jeśli \(\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_n=n}\) to \(\displaystyle{ a_1a_2 \cdot ... \cdot a_n \le 1}\) i chcę pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ b_1+b_2+...+b_n+b_{n+1}=n+1}\) to \(\displaystyle{ b_1b_2 \cdot ... \cdot b_nb_{n+1} \le 1}\). Oczywiście zakładam, że wszystkie te liczby są dodatnie. Najpierw zauważmy co się dzieje, gdy wszystkie liczby \(\displaystyle{ b_i}\) są równe \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy oczywiście iloczyn tych liczb jest mniejszy równy \(\displaystyle{ 1}\), więc się zgadza. No to załóżmy w takim razie, że nie wszystkie te liczby \(\displaystyle{ b_i}\) są równe \(\displaystyle{ 1}\). Zatem jakaś liczba musi być większa od jeden i bez straty ogólności przyjmuję, że jest to \(\displaystyle{ b_1}\) i jakaś liczba w konsekwencji musi być mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\) i bez straty ogólności przyjmuję, że jest to \(\displaystyle{ b_2}\). Z założenia mamy, że \(\displaystyle{ b_1+b_2+...+b_n+b_{n+1}-1=n}\) i dalej mamy z tego, że \(\displaystyle{ (b_1+b_2-1)+b_3+...+b_n+b_{n+1}=n}\). Tworząc z \(\displaystyle{ b_1+b_2-1}\) jedną liczbę po lewej stronie ostatniej równości mamy sumę \(\displaystyle{ n}\) liczb dodatnich, a zatem możemy skorzystać z założenia indukcyjnego i napisać \(\displaystyle{ (b_1+b_2-1)b_3b_4...b_nb_{n+1} \le 1}\). Teraz gdyby udało się nam pokazać, że \(\displaystyle{ b_1+b_2-1 \ge b_1b_2}\) to moglibyśmy napisać, że \(\displaystyle{ b_1b_2...b_nb_{n+1} \le (b_1+b_2-1)b_3b_4...b_nb_{n+1} \le 1}\) i dowód byłby zakończony. Pozostaje zatem pokazać, że \(\displaystyle{ b_1b_2 \le b_1+b_2-1}\). Przekształćmy to równoważnie: \(\displaystyle{ b_2(b_1-1) \le b_1-1}\), zatem dalej równoważnie \(\displaystyle{ b_2(b_1-1)-(b_1-1) \le 0}\) i dalej równoważnie \(\displaystyle{ (b_1-1)(b_2-1) \le 0}\). I teraz jak się zastanowimy, to zostało przyjęte, że \(\displaystyle{ b_1>1}\) i \(\displaystyle{ b_2<1}\), zatem lewa strona tej nierówności jest ujemna, co oznacza, że \(\displaystyle{ b_1b_2 \le b_1+b_2-1}\) czyli to co chcieliśmy i to kończy dowód.
Czy tak jest dobrze?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Będę korzystał z indukcji matematycznej. W pierwszym kroku sprawdzam twierdzenie dla \(\displaystyle{ n=1}\). Z \(\displaystyle{ 1=1}\) wynika, że \(\displaystyle{ 1 \le 1}\), zatem to jest prawda. W drugim kroku zakładam, że jeśli \(\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_n=n}\) to \(\displaystyle{ a_1a_2 \cdot ... \cdot a_n \le 1}\) i chcę pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ b_1+b_2+...+b_n+b_{n+1}=n+1}\) to \(\displaystyle{ b_1b_2 \cdot ... \cdot b_nb_{n+1} \le 1}\). Oczywiście zakładam, że wszystkie te liczby są dodatnie. Najpierw zauważmy co się dzieje, gdy wszystkie liczby \(\displaystyle{ b_i}\) są równe \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy oczywiście iloczyn tych liczb jest mniejszy równy \(\displaystyle{ 1}\), więc się zgadza. No to załóżmy w takim razie, że nie wszystkie te liczby \(\displaystyle{ b_i}\) są równe \(\displaystyle{ 1}\). Zatem jakaś liczba musi być większa od jeden i bez straty ogólności przyjmuję, że jest to \(\displaystyle{ b_1}\) i jakaś liczba w konsekwencji musi być mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\) i bez straty ogólności przyjmuję, że jest to \(\displaystyle{ b_2}\). Z założenia mamy, że \(\displaystyle{ b_1+b_2+...+b_n+b_{n+1}-1=n}\) i dalej mamy z tego, że \(\displaystyle{ (b_1+b_2-1)+b_3+...+b_n+b_{n+1}=n}\). Tworząc z \(\displaystyle{ b_1+b_2-1}\) jedną liczbę po lewej stronie ostatniej równości mamy sumę \(\displaystyle{ n}\) liczb dodatnich, a zatem możemy skorzystać z założenia indukcyjnego i napisać \(\displaystyle{ (b_1+b_2-1)b_3b_4...b_nb_{n+1} \le 1}\). Teraz gdyby udało się nam pokazać, że \(\displaystyle{ b_1+b_2-1 \ge b_1b_2}\) to moglibyśmy napisać, że \(\displaystyle{ b_1b_2...b_nb_{n+1} \le (b_1+b_2-1)b_3b_4...b_nb_{n+1} \le 1}\) i dowód byłby zakończony. Pozostaje zatem pokazać, że \(\displaystyle{ b_1b_2 \le b_1+b_2-1}\). Przekształćmy to równoważnie: \(\displaystyle{ b_2(b_1-1) \le b_1-1}\), zatem dalej równoważnie \(\displaystyle{ b_2(b_1-1)-(b_1-1) \le 0}\) i dalej równoważnie \(\displaystyle{ (b_1-1)(b_2-1) \le 0}\). I teraz jak się zastanowimy, to zostało przyjęte, że \(\displaystyle{ b_1>1}\) i \(\displaystyle{ b_2<1}\), zatem lewa strona tej nierówności jest ujemna, co oznacza, że \(\displaystyle{ b_1b_2 \le b_1+b_2-1}\) czyli to co chcieliśmy i to kończy dowód.
Czy tak jest dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 1709
- Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 412 razy
Re: Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich
Można by uogólnić (na przypadek n wymiarowy) fakt, że kwadrat ma największe pole wśród wszystkich prostokątòw o zadanym obwodzie (czyli zadaniej sumie długości dwòch sąsiednich bokòw). Zakładając, że suma długości dwóch sąsiednich bokòw jest równa \(\displaystyle{ 2}\), to prostokątem o największym polu (równym \(\displaystyle{ 1}\)) jest kwadrat.
-
- Użytkownik
- Posty: 3446
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1007 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich
Hmm no ok, to zaczynam indukcję od \(\displaystyle{ n=2}\). Zatem zakładam, że \(\displaystyle{ a_1+a_2=2}\) i stąd \(\displaystyle{ a_2=2-a_1}\). Teraz chcę coś powiedzieć o \(\displaystyle{ a_1a_2}\) i to jest równe \(\displaystyle{ a_1(2-a_1)}\). To jest funkcja kwadratowa, która ma ramiona skierowane w dół, zatem największa wartość jest w wierzchołku, który jest dla \(\displaystyle{ a_1=1}\) i wartość ta jest równa \(\displaystyle{ 1}\), zatem rzeczywiście zawsze jest \(\displaystyle{ a_1a_2 \le 1}\). No ok, ale zatem co jest źle w dalszym kroku indukcyjnym?
-
- Użytkownik
- Posty: 3446
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1007 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich
Nie jestem pewien o co Ci chodzi, ale dobra, robię tak dla \(\displaystyle{ n=1}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ a_1=1}\) i oczywiście \(\displaystyle{ a_1 \le 1}\). No to teraz zakładam, że \(\displaystyle{ b_1+b_2=2}\) i chcę pokazać, że \(\displaystyle{ b_1b_2 \le 1}\). No i przyjmuję, że \(\displaystyle{ b_1>1}\) i \(\displaystyle{ b_2<1}\), bo tylko ten przypadek jest nieoczywisty. No i mam \(\displaystyle{ b_1+b_2-1=1}\), zatem z założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ b_1+b_2-1 \le 1}\). No i teraz pokazuję, że \(\displaystyle{ b_1b_2 \le b_1+b_2-1}\). Po równoważnym przekształceniu dostaję, że \(\displaystyle{ (b_1-1)(b_2-1) \le 0}\) i to jest prawda przy tych założeniach. Gdzie robię błąd?
-
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Re: Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich
W swoim kroku indukcyjnym zastępujesz liczby `b_1,b_1,b_3,...b_{n+1}` liczbami `b_1+b_2-1, b_3,...,b_{n+1}`.
Kłopot jest w tym, że gdy `n=1`, to nie za bardzo wiadomo jak interpretować zapis `b_3,...,b_2`. Nie obejdzie się zatem bez przyjęcia pewnej konwencji na temat ile wynosi iloczyn elementów pustego zbioru.
Jeżeli zaś zaczniesz indukcje od `n=2`, to sprawdzenie warunku początkowego jest trywialne: jeżeli `a_1+a_2=2`, to `a_1=1+t, a_2=1-t` dla pewnego `t` i `a_1a_2=(1-t)(1+t)=1-t^2\le 1`
Kłopot jest w tym, że gdy `n=1`, to nie za bardzo wiadomo jak interpretować zapis `b_3,...,b_2`. Nie obejdzie się zatem bez przyjęcia pewnej konwencji na temat ile wynosi iloczyn elementów pustego zbioru.
Jeżeli zaś zaczniesz indukcje od `n=2`, to sprawdzenie warunku początkowego jest trywialne: jeżeli `a_1+a_2=2`, to `a_1=1+t, a_2=1-t` dla pewnego `t` i `a_1a_2=(1-t)(1+t)=1-t^2\le 1`
-
- Użytkownik
- Posty: 3446
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1007 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich
No ok, ale to z tego co piszesz to, to co napisałem nie jest tak kompletnie do bani tylko chodzi Ci o to, że w tym kroku indukcyjnym używam iloczynu \(\displaystyle{ b_3b_4...b_nb_{n+1}}\), który może nie istnieć. I w takim wypadku trzeba by było przyjąć konwencję jak to mówisz, że iloczyn elementów zbioru pustego wynosi \(\displaystyle{ 1}\), żeby się zgadzało. Ale, żeby to ominąć to chyba można tak jak mówisz sprawdzić na piechotę przypadki \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ n=2}\), a dalej można już chyba zastosować to rozumowanie które przedstawiłem. Zgadza się?
-
- Użytkownik
- Posty: 3446
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1007 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich
Temat jest w sumie zakończony, ale chciałem jeszcze odkopać go bo podobno istnieje jakiś inny dowód mianowicie dowód Cauchy'ego tego zadania, który polega na tym, żeby najpierw dowieść to twierdzenie dla \(\displaystyle{ n=2^k}\), a potem dla innych \(\displaystyle{ n}\) dopisując trochę liczb, aby ich liczba stała się potęgą dwójki, ale trochę nie rozumiem idei. Czy może ktoś coś wie na ten temat jak ten dowód powinien wyglądać?
-
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Re: Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich
Kod: Zaznacz cały
https://knm.katowice.pl/wyjazdy/sesja_26/pliki/Kilka_dowodow_nierownosci_Cauchyego_miedzy_srednimi_.pdf
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11622
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
Re: Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich
krok indukcyjny \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ 2n}\) w nierówności SA > SG; jest taki, żeby mając liczby \(\displaystyle{ a_1,...a_{2n}}\) określić \(\displaystyle{ b_k = \frac{a_{2k-1}+ a_{2k}}{2}}\) i \(\displaystyle{ c_k= \sqrt{a_{2k-1}a_{2k}}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,..,n}\) i tego , że \(\displaystyle{ c_k \leq b_k}\) oraz że \(\displaystyle{ \sqrt[2n]{a_1...a_{2n}} = \sqrt[n]{c_1...c_k} }\).