Suma i ułamek
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Suma i ułamek
Udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{3}{5} +...+ \frac{p-3}{p-1} = \frac{a}{b}}\) , to \(\displaystyle{ a}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\) (gdzie \(\displaystyle{ p \geq 5}\) jest liczbą pierwszą).
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Suma i ułamek
Zauważmy, że dana suma jest równa
\(\displaystyle{ p-3 - 2 \cdot ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{p-1})}\).
Zauważmy, że modulo \(\displaystyle{ p}\) prawdziwa jest równość
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{p-1} = 0}\)
zatem
\(\displaystyle{ 2 \cdot ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{p-1})=2 \cdot (-\frac{3}{2})=-3 \pmod p}\)
co daje tezę.
\(\displaystyle{ p-3 - 2 \cdot ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{p-1})}\).
Zauważmy, że modulo \(\displaystyle{ p}\) prawdziwa jest równość
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{p-1} = 0}\)
zatem
\(\displaystyle{ 2 \cdot ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{p-1})=2 \cdot (-\frac{3}{2})=-3 \pmod p}\)
co daje tezę.