Suma i ułamek

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{3}{5} +...+ \frac{p-3}{p-1} = \frac{a}{b}}\) , to \(\displaystyle{ a}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\) (gdzie \(\displaystyle{ p \geq 5}\) jest liczbą pierwszą).

[karolex123]

Zauważmy, że dana suma jest równa
\(\displaystyle{ p-3 - 2 \cdot ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{p-1})}\).
Zauważmy, że modulo \(\displaystyle{ p}\) prawdziwa jest równość
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{p-1} = 0}\)
zatem
\(\displaystyle{ 2 \cdot ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{p-1})=2 \cdot (-\frac{3}{2})=-3 \pmod p}\)
co daje tezę.