Chciałbym rozstrzygnac zbieznosc:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{3^{\sqrt{n}}})}}\)
pzdr.
Rozstrzygniecie zbieznosci szeregu
-
Arbooz
- Gość Specjalny
- Posty: 308
- Rejestracja: 13 gru 2004, o 20:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białogard/Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 7 razy
Rozstrzygniecie zbieznosci szeregu
Na początek następujące szacowanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3^{sqrt{n^2+1}}} + ... + \frac{1}{3^{sqrt{(n+1)^2}}} q [(n+1)^2-n^2]*\frac{1}{3^{sqrt{n^2}}} = (2n+1)*\frac{1}{3^{sqrt{n^2}}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{sqrt{n}}} q \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{3^{sqrt{n^2}}}}\)
Jeśli teraz na ten nowy szereg podziałamy kryterium pierwiastkowym otrzymamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2n+1}{3^n}} = \frac{1}{3} < 1}\)
Czyli szereg ten jest zbieżny, a co za tym idzie szereg początkowy jest także zbieżny.
\(\displaystyle{ \frac{1}{3^{sqrt{n^2+1}}} + ... + \frac{1}{3^{sqrt{(n+1)^2}}} q [(n+1)^2-n^2]*\frac{1}{3^{sqrt{n^2}}} = (2n+1)*\frac{1}{3^{sqrt{n^2}}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{sqrt{n}}} q \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{3^{sqrt{n^2}}}}\)
Jeśli teraz na ten nowy szereg podziałamy kryterium pierwiastkowym otrzymamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2n+1}{3^n}} = \frac{1}{3} < 1}\)
Czyli szereg ten jest zbieżny, a co za tym idzie szereg początkowy jest także zbieżny.
-
Aram
- Użytkownik
- Posty: 292
- Rejestracja: 19 lut 2005, o 13:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sochaczew
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 9 razy
Rozstrzygniecie zbieznosci szeregu
Po pierwsze skad wiesz ze :
\(\displaystyle{ \frac{1}{3^{\sqrt{n}}}\leq\frac{1}{3^{sqrt{n^2+1}}} + ... + \frac{1}{3^{sqrt{(n+1)^2}}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3^{\sqrt{n}}}\leq\frac{1}{3^{sqrt{n^2+1}}} + ... + \frac{1}{3^{sqrt{(n+1)^2}}}}\)
-
Arbooz
- Gość Specjalny
- Posty: 308
- Rejestracja: 13 gru 2004, o 20:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białogard/Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 7 razy
Rozstrzygniecie zbieznosci szeregu
Nie wiem, i nic takiego nie napisałem
Przyjżyj się dokładnie pierwszemu szacowaniu.
Stwierdzam tam tylko, że każdy spośród wyrazów\(\displaystyle{ \frac{1}{3^{\sqrt{n^2+1}}},\frac{1}{3^{\sqrt{n^2+2}}},...,\frac{1}{3^{\sqrt{(n+1)^2}}}}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{1}{3^{\sqrt{n^2}}}}\).
Przyjżyj się dokładnie pierwszemu szacowaniu.
Stwierdzam tam tylko, że każdy spośród wyrazów\(\displaystyle{ \frac{1}{3^{\sqrt{n^2+1}}},\frac{1}{3^{\sqrt{n^2+2}}},...,\frac{1}{3^{\sqrt{(n+1)^2}}}}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{1}{3^{\sqrt{n^2}}}}\).
-
Aram
- Użytkownik
- Posty: 292
- Rejestracja: 19 lut 2005, o 13:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sochaczew
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 9 razy
Rozstrzygniecie zbieznosci szeregu
skoro tak to nie rozumiem dlaczego:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{sqrt{n}}} q \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{3^{sqrt{n^2}}}}\)
moglbys mi to bardziej przyblizyc ?
\(\displaystyle{ \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{sqrt{n}}} q \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{3^{sqrt{n^2}}}}\)
moglbys mi to bardziej przyblizyc ?
-
Arbooz
- Gość Specjalny
- Posty: 308
- Rejestracja: 13 gru 2004, o 20:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białogard/Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 7 razy
Rozstrzygniecie zbieznosci szeregu
To jest właśnie to początkowe oszacowanie.
To co w nim jest po lewej stronie, to pewien fragment zadanego szeregu.
Zauważ, że po zsumowaniu tych nierówności po liczbach naturalnych otrzymamy:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3^{sqrt{n^2+1}}} + ... + \frac{1}{3^{sqrt{(n+1)^2}}}) q \Bigsum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+1}{3^{\sqrt{n^2}}}}\)
Teraz trzeba się przyjżeć i zwrócić uwagę, że lewa strona nierówności to nic innego jak \(\displaystyle{ \Bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{\sqrt{n}}}}\)
To co w nim jest po lewej stronie, to pewien fragment zadanego szeregu.
Zauważ, że po zsumowaniu tych nierówności po liczbach naturalnych otrzymamy:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3^{sqrt{n^2+1}}} + ... + \frac{1}{3^{sqrt{(n+1)^2}}}) q \Bigsum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+1}{3^{\sqrt{n^2}}}}\)
Teraz trzeba się przyjżeć i zwrócić uwagę, że lewa strona nierówności to nic innego jak \(\displaystyle{ \Bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{\sqrt{n}}}}\)