Izometria

[Arlan]

Proszę o pomoc z następującym zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ \phi : \mathbb{R} ^{3} \to \mathbb{R} ^{3} }\) będzie izometrią. Wykazać, że istnieje niezerowy wektor \(\displaystyle{ v}\) taki, że \(\displaystyle{ \phi (v)=-v}\). Czy to samo jest prawdą dla izometrii płaszczyzny?

[AiDi]

Jakie wartości własne może mieć izometria?

[Niepokonana]

Głupie pytanie ale to nie wynika po prostu wprost z własności izometrii chociażby z możliwości bycia obrotem?

[a4karo]

Translacje też są izometriami

[Arlan]

Ok, doszedłem do tego że w przypadku izometrii w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) jedna z wartości własnych musi być rzeczywista (wielomian charakterystyczny musi mieć co najmniej jeden rzeczywisty pierwiastek) stąd jeśli weźmiemy tą rzeczywistą wartość własną (ozn.\(\displaystyle{ t}\)) będziemy mieli dla pewnego wektora własnego \(\displaystyle{ x}\) że \(\displaystyle{ \phi (x)=tx}\) i wtedy z własności izometrii \(\displaystyle{ \left| x\right| =\left| \phi(x)\right|=\left| tx\right|=\left| t \right|\left| x\right| }\) i stąd wynika, że t to 1 lub -1. Mam nadzieję, że jest to poprawne rozumowanie. Jak rozumiem dla płaszczyzny nie jest to prawda, ponieważ tutaj obie wartości własne mogą być nierzeczywiste i wtedy takiej sytuacji by nie było.

[matmatmm]

Niech \(\displaystyle{ \phi : \mathbb{R} ^{3} \to \mathbb{R} ^{3} }\) będzie izometrią. Wykazać, że istnieje niezerowy wektor \(\displaystyle{ v}\) taki, że \(\displaystyle{ \phi (v)=-v}\).

Coś tu ewidentnie nie gra. Przecież identyczność nie ma tej własności.