Nieistniejący trójkąt

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że liczby pierwsze bliźniacze (tj. \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) takie, że \(\displaystyle{ p+2=q}\)) nie są długościami przyprostokątnych trójkąta pitagorejskiego.

[Mateusz5324]

Udowodnić, że liczby pierwsze bliźniacze (tj. \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) takie, że \(\displaystyle{ p+2=q}\)) nie są długościami przyprostokątnych trójkąta pitagorejskiego.

Bardzo proste zadanko:
Rozważmy sumę kwadratów tych przyprostokątnych:
\(\displaystyle{ p^2+(p+2)^2=2p^2+4p+4\equiv_20}\)
\(\displaystyle{ 2p^2+4p+4\equiv_42p^2\equiv_40}\)
\(\displaystyle{ p\equiv_20}\)
\(\displaystyle{ p=2}\)
Teraz nasze \(\displaystyle{ q=4}\) nie jest pierwsze, stąd wnioskujemy, że takich liczb nie ma.

[a4karo]

A skąd się wzięła ta ostatnia kongruencja?

[Mateusz5324]

A skąd się wzięła ta ostatnia kongruencja?

Jeżeli:
\(\displaystyle{ 2p^2\equiv_40 \ |:2}\)
\(\displaystyle{ p^2\equiv_20}\)
\(\displaystyle{ p\equiv_20}\)
Pomogłem?

[a4karo]

Ale skąd wiesz że `2p^2` przystaje do `4`?

[Mateusz5324]

Ale skąd wiesz że `2p^2` przystaje do `4`?

Chodzi o to, że "całość" jest parzysta, a parzysta liczba może być kwadratem tylko, jeżeli jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\).
Stąd mamy kongruencję:
\(\displaystyle{ 2p^2+4p+4\equiv_40}\)
Ta kongruencja jest już równoważna tej:
\(\displaystyle{ 2p^2\equiv_40}\)

[mol_ksiazkowy]

Zapewne chodziło o to że gdy \(\displaystyle{ p>2}\) to \(\displaystyle{ 2(p^2+ 2p+2)}\) jest liczbą parzysta a niepodzielną przez 4...

[Mateusz5324]

Zapewne chodziło o to że gdy \(\displaystyle{ p>2}\) to \(\displaystyle{ 2(p^2+ 2p+2)}\) jest liczbą parzysta a niepodzielną przez 4...

Dokładnie to napisałem...

[JHN]

Fakt:

Dla każdej nieparzystej liczby pierwszej \(p\) istnieje trójkąt pitagorejski o przyprostokątnej długości \(p\).

Dowód:
Niech \(a=p\) będzie nieparzystą liczbą pierwszą i długością przyprostokątnej trójkąta pitagorejskiego. Wtedy, przy standardowych oznaczeniach,
\[p^2+b^2=c^2\iff (c-b)(c+b)=1\cdot p^2 \iff \begin{cases}b={p^2-1\over2}\\c={p^2+1\over2}\end{cases}\]
Uwaga: dla \(p=2\) wyznaczone wartości \(b,c\) nie są całkowite.

W rozstrzyganym problemie pozostaje uzasadnienie, że nie istnieją takie wartości \(p\), dla których zachodzi \(b=p\pm2\), co nie jest kłopotliwe.

Pozdrawiam