Kąt różne metody rozwiązania zadania

[mol_ksiazkowy]

Jaki to kąt

Wskazać różne metody rozwiązania zadania.

Ukryta treść:    

źródło: Crux M MA 201

[Janusz Tracz]

Ukryta treść:    

Wystarczy dorysować dwa kwadraty i skorzystać z twierdzenia odwrotnego do tw Pitagorasa by przekonać się, że kąt to \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\).

[piasek101]

kąt w kwadracie.gif (5.57 KiB) Przejrzano 365 razy

Szukany \(\displaystyle{ \gamma = \alpha - \beta}\). Z trójkątów prostokątnych z czerwonymi przyprostokątnymi mamy tangensy odejmowanych kątów, zatem też tangensa różnicy.

[anna_]

Z Pitagorasa
\(\displaystyle{ |AC|=a\sqrt{10}\\
|BC|=|BD|=a\sqrt5\\
|CD|=a\sqrt2}\)

Z twierdzenia cosinusów
\(\displaystyle{ cos\angle CBD=\frac{4}{5}\\
cos\angle ACB=\frac{7\sqrt2}{10}}\)

\(\displaystyle{ sin\angle CBD=\frac{3}{5}\\
sin\angle ACB=\frac{\sqrt2}{10}}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha=-cos(180^o-\alpha)=-cos(\angle CBD+\angle ACB)\\
cos\alpha=-\left(\frac{4}{5}\cdot\frac{7\sqrt2}{10}-\frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt2}{10} \right) \\
cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}}\)