Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
-
- Użytkownik
- Posty: 3446
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1007 razy
- Pomógł: 3 razy
Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Załóżmy przeciwnie, że liczb pierwszych jest skończenie wiele dajmy na to \(\displaystyle{ n}\). Oznaczmy te liczby pierwsze następująco \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3,...,p_n}\). Utwórzmy liczbę \(\displaystyle{ p_1p_2p_3...p_n+1}\) i zobaczmy, że jest to liczba naturalna, niepodzielna przez żadną z liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_k}\), dla \(\displaystyle{ 1\le k \le n}\) bo przy dzieleniu przez dowolną z tych liczb pierwszych zawsze otrzymamy resztę \(\displaystyle{ 1}\), a zatem jest to liczba pierwsza inna od tego zestawu \(\displaystyle{ n}\) liczb pierwszych, który zakładaliśmy w związku z czym mamy sprzeczność czyli liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
Czy tak jest dobrze?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Załóżmy przeciwnie, że liczb pierwszych jest skończenie wiele dajmy na to \(\displaystyle{ n}\). Oznaczmy te liczby pierwsze następująco \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3,...,p_n}\). Utwórzmy liczbę \(\displaystyle{ p_1p_2p_3...p_n+1}\) i zobaczmy, że jest to liczba naturalna, niepodzielna przez żadną z liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_k}\), dla \(\displaystyle{ 1\le k \le n}\) bo przy dzieleniu przez dowolną z tych liczb pierwszych zawsze otrzymamy resztę \(\displaystyle{ 1}\), a zatem jest to liczba pierwsza inna od tego zestawu \(\displaystyle{ n}\) liczb pierwszych, który zakładaliśmy w związku z czym mamy sprzeczność czyli liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
Czy tak jest dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 1431
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych
Dobrze (dopisałbym, że ta liczba pierwsza jest inna od każdej liczby z tego zbioru wszystkch liczb pierwszych- sprzeczność); poza tym jest (bardzo) dobrze.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11619
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych
\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30031 = 59 \cdot 509}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3446
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1007 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych
No bo ta liczba nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą, więc może być podzielna tylko przez jeden i samą siebie. Może być takie uzasadnienie?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
A jak z faktu, że nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą, wynika, że może być podzielna tylko przez jeden i samą siebie?
-
- Użytkownik
- Posty: 485
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 24 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
Liczba \(\displaystyle{ p _{1}p _{2}p _{3} ... p _{n} +1 }\) Jest liczbą pierwszą lub złożoną z iloczynu czynników pierwszych nie należących do założonego zbioru liczb pierwszych. Czyli zawsze pojawią się dodatkowe liczby pierwsze spoza założonego zbioru.
-
- Użytkownik
- Posty: 3446
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1007 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
To chyba wynika z jednoznaczności rozkładu dowolnej liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Po prostu każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci iloczynu pewnych potęg liczb pierwszych, więc jeżeli w tym rozkładzie nie ma żadnej liczby pierwszej, to sama ta liczba musi być pierwsza, bo jakby była złożona to byłaby podzielna przez więcej niż jedną liczbę pierwszą. Dobrze mówię? Popraw mnie jakby co.
-
- Użytkownik
- Posty: 485
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 24 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
Definicja pierwszości to podzielność jedynie przez siebie i \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ 12}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 6}\) a nie jest to liczba pierwsza.
\(\displaystyle{ 12}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 6}\) a nie jest to liczba pierwsza.
-
- Użytkownik
- Posty: 3446
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1007 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
No, ale \(\displaystyle{ 6}\) nie jest liczbą pierwszą. \(\displaystyle{ 12}\) ma rozkład \(\displaystyle{ 12=2^2 \cdot 3}\), tu w rozkładzie jest iloczyn więcej niż jednej liczby pierwszej zatem nie jest to liczba pierwsza. Można jeszcze by powiedzieć inaczej: Nie istnieje liczba złożona, która byłaby podzielna przez liczbę złożoną, a nie byłaby podzielna przez liczbę pierwszą.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4123
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1412 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
- Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele bo, gdyby było ich skończenie wiele to szereg \(\displaystyle{ \sum_{p-\text{pierwsze}}^{} \frac{1}{p} }\) byłby zbieżny. A nie jest.
- Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele bo, gdyby było ich skończenie wiele to wyrażanie \(\displaystyle{ \prod _{p-\text{pierwsze}}{\frac {1}{1-p^{-2}}} }\) byłoby wymierne. A nie jest bo \(\displaystyle{ \prod _{p-\text{pierwsze}}{\frac {1}{1-p^{-2}}} = \sum_{n}^{} \frac{1}{n^2} = \frac{ \pi ^2}{6} }\).
-
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
Założmy przeciwnie że istnieje tylko skończona liczba liczb pierwszych, tj. \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) są wszystkimi liczbami pierwszymi.
Teraz rozważmy liczbę \(N = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1\). Ta liczba nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych \(p_1, p_2, \ldots, p_n\), ponieważ reszta z dzielenia \(N\) przez dowolną z nich byłaby równa \(1\). Oznacza to, że \(N\) nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą z naszego założonego skończonego zbioru.
Jednakże istnieją dwie opcje:
1. Liczba \(N\) jest liczbą pierwszą.
2. Liczba \(N\) nie jest liczbą pierwszą i ma dzielnik większy niż \(1\) i większy niż \(p_1, p_2, \ldots, p_n\).
W obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności z założeniem, że \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) są wszystkimi liczbami pierwszymi. W przypadku 1 pojawia się nowa liczba pierwsza, a w przypadku 2, pojawia się nowy dzielnik pierwszy, który nie jest w naszym pierwotnym zbiorze.
Ponieważ w obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności, nasze założenie, że istnieje tylko skończona liczba liczb pierwszych, musi być błędne \(\displaystyle{ \blacksquare}\)
Teraz rozważmy liczbę \(N = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1\). Ta liczba nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych \(p_1, p_2, \ldots, p_n\), ponieważ reszta z dzielenia \(N\) przez dowolną z nich byłaby równa \(1\). Oznacza to, że \(N\) nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą z naszego założonego skończonego zbioru.
Jednakże istnieją dwie opcje:
1. Liczba \(N\) jest liczbą pierwszą.
2. Liczba \(N\) nie jest liczbą pierwszą i ma dzielnik większy niż \(1\) i większy niż \(p_1, p_2, \ldots, p_n\).
W obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności z założeniem, że \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) są wszystkimi liczbami pierwszymi. W przypadku 1 pojawia się nowa liczba pierwsza, a w przypadku 2, pojawia się nowy dzielnik pierwszy, który nie jest w naszym pierwotnym zbiorze.
Ponieważ w obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności, nasze założenie, że istnieje tylko skończona liczba liczb pierwszych, musi być błędne \(\displaystyle{ \blacksquare}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1431
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
Czy mogę jeszcze dopytać się tutaj o coś, jak już jesteśmy tutaj dogłębni??
W drugim przypadku, jasne jest, że pojawi się nowy dzielnik, i to różny od liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n}\) ; ale dlaczego musi on być pierwszy Wszak dzielniki liczby naturalnej nie muszą być liczbami pierwszymi, np. \(\displaystyle{ 4|12}\), a \(\displaystyle{ 4}\) nie jest liczbą pierwszą. Ten moment jest tutaj jeszcze dla mnie troszkę niejasny. Jak dojść do sprzecznościDynia5 pisze: ↑18 sie 2023, o 20:37 Jednakże istnieją dwie opcje:
1. Liczba \(\displaystyle{ N}\) jest liczbą pierwszą.
2. Liczba \(\displaystyle{ N}\) nie jest liczbą pierwszą i ma dzielnik większy niż \(\displaystyle{ 1}\) i większy niż \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n.}\)
W obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności z założeniem, że \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n}\) są wszystkimi liczbami pierwszymi. W przypadku 1 pojawia się nowa liczba pierwsza, a w przypadku 2, pojawia się nowy dzielnik pierwszy, który nie jest w naszym pierwotnym zbiorze.
Ponieważ w obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności, nasze założenie, że istnieje tylko skończona liczba liczb pierwszych, musi być błędne \(\displaystyle{ \blacksquare}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22292
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3768 razy
Re: Dowieść, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
Jeżeli chcemy doprowadzić do sprzeczności, to najpierw musimy wiedzieć jakim zestawem faktów dysponujemy.
Jeżeli na przykład mamy do dyspozycji twierdzenie, że każda liczba naturalna większa od jedynki jest albo pierwsza albo ma dzielnik pierwszy, to sprzeczność można uzyskać tak: liczba `p_1...p_n+1` nie jest pierwsza, bo jest różna (większa) od każdej liczby pierwszej, ani nie ma dzielnika pierwszego z oczywistych względów
Jeżeli na przykład mamy do dyspozycji twierdzenie, że każda liczba naturalna większa od jedynki jest albo pierwsza albo ma dzielnik pierwszy, to sprzeczność można uzyskać tak: liczba `p_1...p_n+1` nie jest pierwsza, bo jest różna (większa) od każdej liczby pierwszej, ani nie ma dzielnika pierwszego z oczywistych względów