a i b są liczbami całkowitymi. Dowieść, że jeśli liczba a2+b2 jest podzielna przez 21

[max123321]

\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami całkowitymi. Dowieść, że jeśli liczba \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 21}\), to jest podzielna przez \(\displaystyle{ 441}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

[Psiaczek]

Szkic dowodu:

1)jeśli \(\displaystyle{ 21|a^2+b^2 }\) to \(\displaystyle{ 3|a^2+b^2 }\) oraz \(\displaystyle{ 7|a^2+b^2 }\)

2)jeśli \(\displaystyle{ 3|a^2+b^2 }\) to \(\displaystyle{ 3|a ,3|b }\)

3)jeśli \(\displaystyle{ 7|a^2+b^2 }\) to \(\displaystyle{ 7|a ,7|b }\)

4)wtedy \(\displaystyle{ 3^2|a^2 ,3^2|b^2 }\),\(\displaystyle{ 7^2|a^2 ,7^2|b^2 }\)

5)stąd \(\displaystyle{ 3^2|a^2+b^2 ,7^2|a^2+b^2 }\)

6)a stąd \(\displaystyle{ 21^2|a^2+b^2 }\)

Punkty 2,3 np.wrzuć w google "reszta kwadratowa modulo" ale ja ci tłumaczyć nie będę

[max123321]

No właśnie punkty 2 i 3 myślę, że wymagają dokładniejszego uzasadnienia, bo nie wiem skąd to się bierze. Poczytałem o tych resztach kwadratowych modulo, ale nie wiem jak to uzasadnić.

[a4karo]

Popatrz na reszty kwadratów przydzieleniu przez 3 i 7

[Dynia5]

Załóżmy, że \(a^2 + b^2\) jest podzielna przez 21, czyli \(a^2 + b^2 = 21k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\).

Ponieważ \(21 = 3 \times 7\), wiemy, że \(a^2 + b^2\) jest podzielna zarówno przez 3, jak i przez 7. Zatem, \(a^2\) i \(b^2\) są również podzielne przez 3 i 7.

Teraz zauważmy, że \(441 = 3^2 \times 7^2\). Jeśli \(a^2\) i \(b^2\) są podzielne przez \(3^2\) i \(7^2\), to ich suma \(a^2 + b^2\) również musi być podzielna przez \(3^2\) i \(7^2\), czyli przez \(441\).

[Mateusz5324]

No właśnie punkty 2 i 3 myślę, że wymagają dokładniejszego uzasadnienia, bo nie wiem skąd to się bierze. Poczytałem o tych resztach kwadratowych modulo, ale nie wiem jak to uzasadnić.

W skrócie( bardzo dużym, bo ja uczyłem się tego przez pół pierwszej klasy w liceum ). Mamy coś takiego jak reszty i nie reszty kwadratowe. Dla skomplikowania całego przedsięwzięcia lepiej mówić o liczbie, że nie jest nie resztą kwadratową; jednak tylko w przypadku liczb pierwszych, bo inaczej schody są jeszcze dłuższe, a nie chce mi się tego dokładniej tłumaczyć, no chyba że poprosisz, to wytłumaczę . Rozchodzi się o to, że siódemka( w zasadzie 0, gdyż są osoby, którym to przeszkadza) nie jest ani resztą ani nie resztą kwadratową modulo siedem. Teraz więc wypiszmy wszystkie liczby, które nie są nie resztami kwadratowymi modulo trzy:
\(\displaystyle{ 0, 1}\)
Obojętnie jak nie chciałbyś ich dodać, wielokrotność trójki( czyli w zasadzie 0; jak poprzednio) dostaniesz tylko dodając zero, do zera. Stąd w tym zadaniu:
\(\displaystyle{ 3\ |\ a^2}\) i \(\displaystyle{ 3\ |\ b^2}\). Jednak, jako że trójka jest pierwsza, to by uzyskać 0, trzeba podnieść do kwadratu coś nie względnie pierwszego z trójką, czyli dokładniej mówiąc jej wielokrotność. Teraz więc możemy zapisać:
\(\displaystyle{ 3\ |\ a}\), oraz podobnie z \(\displaystyle{ b}\), ale oszczędzę sobie pisania . Podnosząc obie strony do kwadratu, uzyskamy to, o co nam chodzi.

Przy siódemce jest bardzo podobnie, tylko zbiór liczb nam się zmienia, bo liczby które nie są nie resztami kwadratowymi modulo siedem to:
\(\displaystyle{ 0, 1, 2, 4}\)
Tutaj jednak też, by otrzymać wielokrotność siódemki( czyli w zasadzie zero, jak w poprzednich dwóch przypadkach), musimy dodać zero, do zera. Dalsze rozumowanie powtarzamy analogicznie, jak w przypadku trójki.
PS. Jeśli masz jeszcze jakieś pytania, to służę pomocą.

[a4karo]

Załóżmy, że \(a^2 + b^2\) jest podzielna przez 21, czyli \(a^2 + b^2 = 21k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\).

Ponieważ \(21 = 3 \times 7\), wiemy, że \(a^2 + b^2\) jest podzielna zarówno przez 3, jak i przez 7. Zatem, \(a^2\) i \(b^2\) są również podzielne przez 3 i 7.

To jest właśnie to, co trzeba udowodnić. `3^2+4^2` jest podzielne przez `5`, a ani `3^2` ani `4^2` nie są.

[Mateusz5324]

Jest to z powodu, iż piątka może i jest pirwsza, ale \(\displaystyle{ 5 \not \equiv_4 3}\). Nie chce mi się tego dokładnie tłumaczyć, ale w skrócie chcemy, by jedna z liczb \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ -n}\), była nie resztą kwadratową, czyli nasza liczba pierwsza( moduł) nie może być parzysta ( \(\displaystyle{ 2}\) ) i nie może przystawać modulo \(\displaystyle{ 4}\) do jedynki, stąd musi przystawać modulo \(\displaystyle{ 4}\) do trójki, a piątka tego warunku nie spełnia. Jednak masz rację, że Dynia całkowicie zapomniał/a o dowodzie swoich słów.