Przesunięta potęga

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli jedna z liczb \(\displaystyle{ 2^n-1}\), \(\displaystyle{ 2^n+1 }\) jest pierwsza, to pozostała jest złożona.

[JHN]

Dla \(n=2\) tak nie jest.

Pozdrawiam

[mol_ksiazkowy]

a gdy \(\displaystyle{ n>2}\) ...?

[Jakub Gurak]

Dowód nie wprost:

Przypuśćmy, że obie liczby są pierwsze. Ponieważ w ciągu trójwyrazowym \(\displaystyle{ \left( 2 ^{n}-1, 2 ^{n}, 2 ^{n}+1 \right) }\), jedna z liczb jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) (bo są to trzy kolejne liczby naturalne), a ponieważ \(\displaystyle{ n \ge 3}\), więc \(\displaystyle{ 2 ^{n}-1 \neq 3,}\) i liczba \(\displaystyle{ 2 ^{n}-1}\) jest, na mocy założenia, liczbą pierwszą, więc \(\displaystyle{ 2 ^{n}-1}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\); i w podobny sposób otrzymujemy, że liczba \(\displaystyle{ 2 ^{n}+1}\), jako liczba pierwsza, nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\); pozostaje zatem możliwość, aby:

\(\displaystyle{ 2 ^{n}= \underbrace {2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{ n \hbox{ razy}},}\)

było podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), co jest oczywistą sprzecznością.\(\displaystyle{ \square}\)

Wiem, że to jest zbyt rozwlekłe, ale dla \(\displaystyle{ n=2}\), to by to nie działało, to rozumowanie, więc dostrzegłem potrzebę precyzji, i się rozpisałem...

Fajne jest też zadanie, aby porównać czy \(\displaystyle{ 2 ^{2023}}\) jest większe niż \(\displaystyle{ 2023 !}\), co pozwala odpowiedzieć na pytanie czy dla \(\displaystyle{ 2023}\)- elementowego zbioru \(\displaystyle{ X}\), czy moc jego zbioru potęgowego czy jest większa niż moc zbioru wszystkich bijekcji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ X}\)?

Albo, fajne jest też zadanie, aby odpowiedzieć na pytanie, czy istnieje istotnie więcej funkcji różnowartościowych ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}}\) w zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2\right\}}\) niż funkcji 'na' ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2\right\}}\) w zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}}\), (moc ostatniego zbioru, łatwiej jest wyznaczyć, wyznaczając najpierw moc zbioru wszystkich funkcji, które nie są 'na', i odjąć to od \(\displaystyle{ 2^{3}=8}\)).

[Bran]

Pomysł Jakuba Guraka jest świetny.

Można też tak: \(\displaystyle{ \left( 2^n - 1\right) \left( 2^n + 1\right) = \sqrt{2^n} - 1 }\) co znaczy, że \(\displaystyle{ \sqrt{2^n}}\) jest liczbą naturalną, a więc \(\displaystyle{ n}\) jest parzysta, a może być pierwsza tylko, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza, bo \(\displaystyle{ 2^{ab} - 1^b = \left( 2^a\right)^b - 1^b}\) i dalej ze wzoru skróconego mnożenia mamy iloczyn dwóch liczb naturalnych.

[a4karo]

To powyższe to trochę nieprawda.
Ale `(2^n-1)(2^n+1)=4^n-1=(4-1)(....)`, więc jeżeli oba czynniki po lewej sa pierwsze, to jednym z nich jest trójka, a stąd `n=2`

[Bran]

Nie wierzę, że pomyliłem wzory. Dzięki za korektę.