Nierówność a przedział

[Bran]

Wykazać, że jeżeli istnieje taka stała \(\displaystyle{ K}\), że \(\displaystyle{ p_{n+1} - p_n < K \cdot p_n^c}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest stałą dodatnią rzeczywistą, to dla wystaczajaco dużych \(\displaystyle{ x}\)'ów w dowolnym przedziale \(\displaystyle{ [x-x^c, x]}\) istnieje liczba pierwsza.
Potrzebuję podpowiedzi, bo tyle już siedzę i się na to gapię, że już nic nie widzę.

[Dasio11]

Zdaje się, że jeśli zadanie w ogóle można rozwiązać, to tylko z użyciem jakichś znanych faktów o liczbach pierwszych. Z pewnością taka implikacja nie zachodzi dla dowolnego ciągu - kontrprzykładem jest ciąg dany zależnością \(\displaystyle{ p_{n+1} = p_n + 2\sqrt{p_n} - 1}\). Spełnia on założenie przy \(\displaystyle{ K = 2}\) i \(\displaystyle{ c = \frac{1}{2}}\), ale dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) nie ma żadnych wyrazów ciągu w przedziale \(\displaystyle{ [x-\sqrt{x}, x]}\), gdzie \(\displaystyle{ x = p_{n+1} - 1}\).

[Bran]

kontrprzykładem jest ciąg dany zależnością \(\displaystyle{ p_{n+1} = p_n + 2\sqrt{p_n} - 1}\). Spełnia on założenie przy \(\displaystyle{ K = 2}\) i \(\displaystyle{ c = \frac{1}{2}}\)

Przepraszam, nie wspomniałem o tym, że \(\displaystyle{ p_n}\) jest \(\displaystyle{ n}\)'tą liczbą pierwszą.

[Dasio11]

Domyśliłem się.

[Bran]

To wówczas ciąg dany w kontrprzykładzie się nie pokrywa z tym w zadaniu.