Obliczyć boki trójkąta

[dzialka11o]

Obliczyć boki trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) , ( w liczbach całkowitych ) ,
którego pole \(\displaystyle{ S=54}\) ( \(\displaystyle{ cm \times cm}\)) , ile wynosi promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ?
T.W.

[JHN]

Jeżeli \(\begin{cases}a=m^2-n^2\\b=2mn\\c=m^2+n^2\end{cases}\), gdzie \(m>n\) są dodatnimi liczbami całkowitymi, są bokami szukanego trójkąta,
to musi zajść
\({1\over2}\cdot2mn\cdot(m^2-n^2)=54\)
czyli
\(m\cdot n\cdot(m-n)\cdot(m+n)=1\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\)
A to równanie, wydaje mi się, jest w liczbach całkowitych sprzeczne.

Pozdrawiam

[Elayne]

Trójkąt prostokątny którego boki mają długości równe \(\displaystyle{ 9, 12, 15}\) ma pole równe \(\displaystyle{ 54}\).

[JHN]

Fakt, rozpatrywałem tylko pierwotne trójki pitagorejskie

Pozdrawiam

Dodano po 10 minutach 24 sekundach:
Jeżeli \(\begin{cases}a=p\cdot(m^2-n^2)\\b=p\cdot2mn\\c=p\cdot(m^2+n^2)\end{cases}\), gdzie \(p,\ m>n\) są dodatnimi liczbami całkowitymi, są bokami szukanego trójkąta,
to musi zajść
\({1\over2}\cdot p\cdot 2mn\cdot p\cdot(m^2-n^2)=54\)
czyli
\(p^2\cdot m\cdot n\cdot(m-n)\cdot(m+n)=3^2\cdot2\cdot1\cdot1\cdot3\)
Zatem
\(\begin{cases}p=3\\m=2\\n=1\end{cases}\)
skąd odpowiedź

Pozdrawiam
PS. \(r={9+12-15\over2}=3\)

[dzialka11o]

Czy ten problem można rozwiązać inaczej dla podanego trójkąta prostokątnego ?
Wychodząc z ogólnego założenia ; że jeśli rozwiązanie ma być
w liczbach całkowitych to ( \(\displaystyle{ r}\)) też musi być w liczbach całkowitych ,
oraz suma boków ( \(\displaystyle{ p}\)) tego trójkąta też musi być w wyrażona w liczbach całkowitych .
To zależność \(\displaystyle{ \frac{2S}{P} = r}\) , gdzie \(\displaystyle{ r = \frac{a+ b - c}{2}}\) ,( stąd promień musi być w całkowitych) .
Z szacunkiem T.W.

[Elayne]

Za pomocą formuły:
\(\displaystyle{ m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2}\)
nie otrzymamy trójki: \(\displaystyle{ 9, 12, 15}\).

Rozkład liczby \(\displaystyle{ 108}\) na czynniki pierwsze:
\(\displaystyle{ 108=2^2 \times 3^3 = \overbrace { [2 \times 2 \times 3]} \times \overbrace {[3 \times 3]}}\)

Dosyć często do rozwiązania można dojść różnymi ścieżkami, nie inaczej jest w tym przypadku.

Promień możemy policzyć w prosty sposób:
Szkic:
Rysunek: trójkąt prostokątny z wpisanym okręgiem.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ a, b}\) - przyprostokątne trójkąta;
\(\displaystyle{ c}\) - przeciwprostokątna trójkąta;
\(\displaystyle{ r}\) - promień okręgu wpisanego

Ponieważ jest to trójkąt prostokątny to możemy podzielić przyprostokątne trójkąta na dwa odcinki:
\(\displaystyle{ a: a-r, r;}\)
\(\displaystyle{ b: b-r, r.}\)
Stąd \(\displaystyle{ c=(a-r)+(b-r)}\), po paru przekształceniach mamy: \(\displaystyle{ r = 1/2 (a + b - c)}\).

[dzialka11o]

Dzięki za ciekawe podejście wyznaczenia boków w tym zadanym trójkącie prostokątnym .
Ponieważ jest to trójkąt prostokątny i znamy boki przyprostokątne tego trójkąta wyliczone powyżej
to przeciwprostokątną najprościej można wyliczyć też ze wzoru Pitagorasa . lub ze wzorów twierdzenia cosinusów .
Ciekawostką jest to , że ten trójkąt jest " trójkątem egipskim" powiększonym trzykrotnie .
Z wdzięcznością T.W.