Jakie jest p-podobieństwo, że co najmniej dwie urodziły się tego samego dnia?

[Klaudiuska88]

Na wykład uczęszcza \(\displaystyle{ m}\) osób ( \(\displaystyle{ m \le 365}\) urodzonych w tym samym roku (rok 365 dni))

Jakie jest p-podobieństwo, że co najmniej dwie urodziły się tego samego dnia?

Myślałam, żeby to zrobić tak:

\(\displaystyle{ \Omega= \frac{365!}{2! \cdot 363!} }\) - ale nie wiem jak zapisać te dwie osoby i co z tym \(\displaystyle{ m}\)?

A potem pomyślałam, że można też przeciwnie zrobić - "każda osoba ma urodziny w inny dzień"
\(\displaystyle{ \Omega = 365}\)

Dziwne zadanie dla mnie... a może zbyt je analizuje

[Janusz Tracz]

Myślałam, żeby to zrobić tak:
\(\displaystyle{ \Omega= \frac{365!}{2! \cdot 363!} }\) - ale nie wiem jak zapisać te dwie osoby i co z tym m ?

A potem pomyślałam, że można też przeciwnie zrobić - "każda osoba ma urodziny w inny dzień"
\(\displaystyle{ \Omega = 365}\)

To co piszesz nie ma sensu. Nie wiadomo co to jest \(\displaystyle{ \Omega}\) i skąd się biorą te liczby. Tak czy inaczej problem jest dość znany między innymi pod nazwą paradoks dnia urodzin. Łatwiej tu policzyć najpierw w p-stwo, że każdy ma urodziny innego dnia innymi słowy nie ma żadnej pary urodzonych tego samego dnia. A można to obliczyć z definicji traktując zdarzenia elementarne jako ciągi z \(\displaystyle{ \left\{ 1,\dots,365\right\}^{\left\{ 1\dots ,m\right\} }}\). Zatem licznością przestrzeni probabilistycznej jest liczba \(\displaystyle{ 365^m}\). Nas jednak interesuje sytuacja w której każdy ma urodziny w innym dniu. To nastąpić może na \(\displaystyle{ 365 \cdot 364 \cdot \dots \left( 365-m+1\right) }\) sposobów. Zatem odpowiedź to \(\displaystyle{ 1-365 \cdot 364 \cdot \dots \left( 365-m+1\right)/365^m}\). Można też na to wszystko patrzeć przez pryzmat zliczania funkcji

\(\displaystyle{ 1- \frac{\left| \text{ciągi różnowartościowe z} \left\{ 1,\dots, m\right\} \text{ w } \left\{ 1,\dots, 365\right\} \right| }{\left| \text{ciągi z} \left\{ 1,\dots, m\right\} \text{ w } \left\{ 1,\dots, 365\right\} \right| }. }\)

[janusz47]

Na wykład uczęszcza \(\displaystyle{ m, \ \ m\leq 365 }\) osób. W naszych rozważaniach przyjmiemy, że każda z osób mogła urodzić się jakiegoś określonego dnia w roku, jak i każdego innego. Ponadto pomijamy lata przestępne, ograniczając się do roku \(\displaystyle{ 365 -}\) dniowego.

Zdarzenie, że dwie co najmniej osoby mają wspólne urodziny, jest przeciwne do zdarzenia polegającego na tym, że wszystkie osoby obchodzą różnego dnia urodziny.

Jeśli osoba urodziła się jakiegoś dnia, to prawdopodobieństwo, że druga osoba nie urodziła się tego samego dnia wynosi \(\displaystyle{ \frac{364}{365},}\) ponieważ istnieją dokładnie \(\displaystyle{ 364 }\) dni różne od urodzin pierwszej osoby. Aby trzecia osoba miała różne dni z pierwszymi dwoma osobami urodziny - musi je obchodzić któregoś z pozostałych \(\displaystyle{ 363 dni. }\) Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi \(\displaystyle{ \frac{363}{365}.}\)

Ponieważ są to zdarzenia niezależne, więc prawdopodobieństwo, że wszystkie \(\displaystyle{ 3 }\) osoby mają różne urodziny jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa, że druga osoba ma różne urodziny od pierwszej, oraz prawdopodobieństwa, że trzecia osoba ma różne urodziny niż pierwsze dwie osoby:\(\displaystyle{ \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}. }\)

Analogicznie możemy wykazać, że prawdopodobieństwo, iż \(\displaystyle{ 4 }\) osoby mają różne urodziny, wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{364\cdot 363\cdot 362}{365\cdot 365 \cdot 365} = \frac{365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot 362}{365 \cdot 365 \cdot 365 \cdot 365}. }\)

W wyrażeniu po prawej stronie specjalnie pomnożyliśmy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 365, }\) co nie zmienia wartości ułamka po to, aby liczba czynników w liczniku i mianowniku była równa liczbie rozpatrywanych osób.

Teraz łatwiej możemy wypisać wzór ogólny na prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ m }\) osób będzie miało różne dni urodzin:

\(\displaystyle{ p(m) = \frac{365\cdot 364 \cdot 363 \cdot 362 \cdot \ \ ... \ \ \cdot (365 - m+1)}{ 365^{m}} }\)

We wzorze tym w liczniku i mianowniku występuje po \(\displaystyle{ m }\) czynników.

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, to znaczy, że co namniej \(\displaystyle{ 2 }\) osoby będą miały wspólne urodziny wynosi

\(\displaystyle{ \overline{p}(m) = 1- p(m) = 1 - \frac{365\cdot 364 \cdot 363 \cdot 362 \cdot \ \ ... \ \ \cdot (365 - m+1)}{ 365^{m}} = 1 - \frac{m! \cdot{365 \choose m}}{365^{m}}.}\)

W tym modelu urodzin zdarzeniem elementarnym, jest \(\displaystyle{ m - }\) elementowy ciąg o elementach bedacymi kolejnymi dniami roku.

Przyjmując upraszczające założenia że rok ma \(\displaystyle{ 365 }\) dni i że we wszystkich dniach w roku rodzi się mniej więcej tyle samo osób oraz że urodzenie się w każdy spośród 365 dni jest tak samo prawdopodobne- mamy do czynienia z zagadnieniem równoważnym losowaniu ze zwracaniem- \(\displaystyle{ m }\) razy daty.

Moc zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) jest więc równa \(\displaystyle{ |\Omega| = 365^{m}.}\)

Mając wzór ogólny zobaczmy jakie daje wartości dla kilku przykładowych wartości \(\displaystyle{ m. }\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> p10 = factorial(10)*choose(365,10)/365^10
> p10
[1] 0.8830518
> 1- p10
[1] 0.1169482
> 
> p22 = factorial(22)*choose(365,22)/365^22
> 1-p22
[1] 0.4756953

> p23 = factorial(23)*choose(365,23)/365^23
> p23
[1] 0.4927028
> 1-p23
[1] 0.5072972
> 

> p50 = factorial(50)*choose(365,50)/365^50
> p50
[1] 0.02962642
> 1-p50
[1] 0.9703736
> 
> p100 = factorial(100)*choose(365,100)/365^100
> p100
[1] 3.072489e-07
> 1-p100
[1] 0.9999997

Dla \(\displaystyle{ m = 10 }\) osób wartość prawdopodobieństwa wynosi \(\displaystyle{ 1 - p(10)= 0,117,}\) co oznacza mniej więcej \(\displaystyle{ 1 }\) szansę na \(\displaystyle{ 9, }\) że co najmniej dwie osoby mają wspólne urodziny.

Dla \(\displaystyle{ m = 22 }\) osoby, mamy już \(\displaystyle{ 1- p(22) = 0,476, }\) zaś dla \(\displaystyle{ m =23, \ \ 1 - p(23) = 0,507. }\)

Zatem przy \(\displaystyle{ 23 }\) osobach możemy się zakładać z szansami lepszymi niż równe, że co najmniej \(\displaystyle{ 2 }\) osoby obchodzą tego samego dnia swe urodziny.

Jeszcze bardziej zaskakujący jest fakt, że przy \(\displaystyle{ m = 50 }\) osób, prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 1- p(50) = 0,970, }\) a przy \(\displaystyle{ m = 100 }\) osobach szanse , że co najmniej dwie osoby obchodzą tego samego dnia urodziny są lepsze niż \(\displaystyle{ 3000000 :1.}\)

W tych nieoczekiwanych wynikach tkwi piękno rachunku prawdopodobieństwa.

[Klaudiuska88]

Dziękuje za odpowiedzi kochani, nigdy nie wpadłabym na takie rozważania.
Nie wiedziałam nawet że zadanie jest jakimś szerzej znanym paradoksem.

Druga odpowiedź naprawdę wyczerpuje temat i pomogła mi to zrozumieć, jestem wdzięczna.