Płaszczyzna \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }\) jest pokryta dwoma otwartymi, ściągalnymi podzbiorami \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\). Wykazać, że przecięcie tych zbiorów \(\displaystyle{ U \cap V}\) jest homeomorficzne z płaszczyzną \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\).
Czy podobne stwierdzenie jest prawdziwe dla pokrycia przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) dwoma otwartymi ściągalnymi podzbiorami?
Otwarte, ściągalne podzbiory płaszczyzny
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Otwarte, ściągalne podzbiory płaszczyzny
Ostatnio zmieniony 8 kwie 2023, o 21:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Literówka w temacie.
Powód: Literówka w temacie.
- szuler
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 16 mar 2023, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Otwarte, ściągalne podzbiory płaszczyzny
Spróbuję, a co mi tam.
Tutaj o rozmaitości Whiteheada:
a tu o tw. Brouwera:
Cyt. z wiki:
Znalazłem pracę (z 1989 r.), w której autorzy twierdzą, że rozmaitość Whiteheada \(W\) zanurza się w \(\mathbb{R}^{3}\). Mając zanurzenie \(f:W\rightarrow \mathbb{R}^{3}\) możemy stwierdzić, korzystając z uogólnienia pewnego twierdzenia udowodnionego przez Brouwera, że \(f\) jest otwarte. Wobec tego \( f[ W ] \subseteq \mathbb{R}^{3} \) jest otwarty, ściągalny i nie jest homeomorficzny z \(\mathbb{R}^{3}\). Możemy teraz wziąć pokrycie \(\mathbb{R}^{3}\) złożone z \(\mathbb{R}^{3}\) i \( f[ W ] \). Przekrojem tych dwóch zbiorów jest oczywiście \( f[ W ] \) i hipoteza zostaje obalona (chyba, że znalazłem literówkę (cyfrówkę?) w artykule).karolex123 pisze: ↑8 kwie 2023, o 20:34 Czy podobne stwierdzenie jest prawdziwe dla pokrycia przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) dwoma otwartymi ściągalnymi podzbiorami?
Tutaj o rozmaitości Whiteheada:
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead_manifold
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain
Generalizations
The domain invariance theorem may be generalized to manifolds: if \(M\) and \(N\) are topological \(n\)-manifolds without boundary and \( f:M\rightarrow N\) is a continuous map which is locally one-to-one (meaning that every point in \(M\) has a neighborhood such that \(f\) restricted to this neighborhood is injective), then \(f\) is an open map (meaning that \( f(U) \) is open in \(N\) whenever \(U\) is an open subset of \(M\)) and a local homeomorphism.
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Otwarte, ściągalne podzbiory płaszczyzny
Tak! Taki kontrprzykład znajdziemy najwcześniej w w przestrzeni trójwymiarowej, w niższych wymiarach każdy ściągalny podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) .
Dodano po 2 godzinach 2 minutach 35 sekundach:
Oczywiście otwarty, ściągalny
Dodano po 2 godzinach 2 minutach 35 sekundach:
Oczywiście otwarty, ściągalny
- szuler
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 16 mar 2023, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Otwarte, ściągalne podzbiory płaszczyzny
Czyli sytuacja taka sama jak tutaj:karolex123 pisze: ↑11 kwie 2023, o 12:24 Tak! Taki kontrprzykład znajdziemy najwcześniej w w przestrzeni trójwymiarowej
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_horned_sphere
Pewne rozumowania, które działają w dwóch wymiarach, załamują się w wymiarach wyższych, bo da się skonstruować odpowiednio dziwny obiekt. Czy znane są konstrukcje rozmaitości w wyższych wymiarach, które są kontrprzykładami do zadania z pierwszego wpisu?The horned sphere, together with its inside, is a topological 3-ball, the Alexander horned ball, and so is simply connected; i.e., every loop can be shrunk to a point while staying inside. The exterior is not simply connected, unlike the exterior of the usual round sphere; a loop linking a torus in the above construction cannot be shrunk to a point without touching the horned sphere. This shows that the Jordan–Schönflies theorem does not hold in three dimensions, as Alexander had originally thought. Alexander also proved that the theorem does hold in three dimensions for piecewise linear/smooth embeddings. This is one of the earliest examples where the need for distinction between the categories of topological manifolds, differentiable manifolds, and piecewise linear manifolds became apparent.
Wiesz może, gdzie znajdę coś więcej na ten temat? Musiałem się trochę nagimnastykować, żeby znaleźć to zapisane wprost - było to jedno zdanie w pracy, o której wspomniałem.
PS. Żądanie od kogoś 36 euro za możliwość przeczytania artykułu z 1935 roku to dla mnie jakaś aberracja. Widocznie magowie z szóstego kręgu magii nie chcą, żeby byle kto czytał takie rzeczy ;−)
Dodano po 2 dniach 7 godzinach 52 minutach 39 sekundach:
Dostałem bardzo fajną podpowiedź (nie powiem, gdzie :^) ) i chyba już rozumiem. Mianowicie \(W\) jest właściwym podzbiorem \(S^{3}\). Istnieje więc \(p\in S^{3}\) taki, że \(p\notin W\). Wtedy \(W \subseteq S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \). Funkcja \(f:W\rightarrow S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \), \(f(x)=x\) jest zanurzeniem \(W\) w \(S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace\). Faktem jest również to, że \(S^{n}\) bez jednego punktu jest homeomorficzna z \(\mathbb{R}^{n}\). Niech \(g:S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) będzie homeomorfizmem. Wtedy \(g\upharpoonright_{f[ W ]} \circ f\) jest zanurzeniem \(W\) w \(\mathbb{R}^{3}\). Jeśli coś tutaj jest nie tak, to prosiłbym o wskazanie błędu.
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Otwarte, ściągalne podzbiory płaszczyzny
Wygląda dobrze! Dodam tylko, że w wymiarze \(\displaystyle{ 1}\) jest zupełnie jasne, że otwarty, ściągalny podzbiór jest homeomorficzny z prostą, zaś w wymiarze \(\displaystyle{ 2}\) mamy twierdzenie Riemanna o jednospójnych obszarach na płaszczyźnie.Dostałem bardzo fajną podpowiedź (nie powiem, gdzie :^) ) i chyba już rozumiem. Mianowicie \(W\) jest właściwym podzbiorem \(S^{3}\). Istnieje więc \(p\in S^{3}\) taki, że \(p\notin W\). Wtedy \(W \subseteq S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \). Funkcja \(f:W\rightarrow S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \), \(f(x)=x\) jest zanurzeniem \(W\) w \(S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace\). Faktem jest również to, że \(S^{n}\) bez jednego punktu jest homeomorficzna z \(\mathbb{R}^{n}\). Niech \(g:S^{3}\setminus \lbrace p \rbrace \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) będzie homeomorfizmem. Wtedy \(g\upharpoonright_{f[ W ]} \circ f\) jest zanurzeniem \(W\) w \(\mathbb{R}^{3}\). Jeśli coś tutaj jest nie tak, to prosiłbym o wskazanie błędu.