Niezależność zmiennych losowych

[Rokush]

Mam takie zadanie:
"Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ \left( X,Y\right) }\) ma rozkład jednostajny na prostokącie \(\displaystyle{ A=\left\langle -2,0\right\rangle \times \left\langle 0,2\right\rangle }\). Czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne?"

I intuicyjnie wydaje mi się że są zależne, bo prawdopodobieństwo czy \(\displaystyle{ X \in \left[ -1,0\right] }\) zależy od \(\displaystyle{ Y}\) bo dla \(\displaystyle{ Y=-7}\) to prawdopodobieństwo wynosi zero. Ale z drugiej strony formalnie z dystrybuant, sprawdzamy czy zachodzi:
\(\displaystyle{ P\left( X \le x,Y \le y\right)=P\left( X \le x\right) \cdot P\left( Y \le y\right) }\)
I mamy:
\(\displaystyle{ P\left( X \le x\right)= \frac{\left| -2-x\right| }{2} \cdot 1 _{A} }\),
\(\displaystyle{ P\left( Y \le y\right)= \frac{\left| 0-y\right| }{2} \cdot 1 _{A}}\),
gdzie \(\displaystyle{ 1 _{A}}\) to indykator zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Oraz zachodzi:
\(\displaystyle{ P\left( X \le x,Y \le y\right)= \frac{\left| -2-x\right| \cdot \left| 0-y\right|}{4} \cdot 1 _{A} }\)
No więc wymnażając wyjdzie nam to samo. I która z odpowiedzi jest prawidłowa?

[janusz47]

Dlaczego uwzględniasz \(\displaystyle{ Y = -7 }\) skoro \(\displaystyle{ Y \in [0, \ \ 2] ? }\)

Znajdujemy rozkład łączny zmiennej losowej \(\displaystyle{ (X, Y): \ \ f_{(X,Y)} = \ \ ... }\)

i rozkłady brzegowe \(\displaystyle{ f_{X}(x,y) = ..., \ \ f_{Y}(x,y) = \ \ ... }\)

Sprawdzamy, czy zachodzi równość

\(\displaystyle{ f_{(X,Y)} = f_{X}(x,y) \cdot f_{Y}(x,y) ?}\)

Można też sprawdzić niezależność zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y }\) za pomocą dystrybuant.

Wtedy musimy obliczyć dystrybuantę łączną w prostokącie:

\(\displaystyle{ F_{(X,Y)} (x,y) = P(x_{1}< X< x_{2}, \ \ y_{1}< Y< y_{2}) = F(x_{2},y_{2}) + F(x_{1},y_{1}) - F(x_{1},y_{2}) - F(x_{2},y_{1}) }\)

oraz dystrybuanty brzegowe:

\(\displaystyle{ F_{X}(x) = F_{(X,Y)} (x, \infty), \ \ F_{Y}(y) = F_{(X,Y)} (\infty, y). }\)