Odnosiłem się do pierwszej odpowiedzi a4karo.
Fakt, nie jest to w ogóle potrzebne, ale myślę, że widać, że ten cały mój wpis to po prostu modyfikacja mojego poprzedniego dowodu. Dość fajnie to obrazuje sytuację.Ok, nie zrozumiałem że "widzimy dość jasno" powołuje się na prawie rozłączność (bo to nie najprostszy sposób, choć poprawny).
Znów, chodziło mi o odpowiedź a4karo.Jakich wpadek?
Eh, chyba jednak nie wszyscy wiedzą, o co mi chodzi. To właśnie tę własność tu pokazałem, zamiast po prostu się na nią powoływać.Co, że \(\displaystyle{ f}\) jest injekcja? Bo jeśli \(\displaystyle{ f_x = f_y}\), to \(\displaystyle{ x = \lim_{n \to \infty} f_x(n) = \lim_{n \to \infty} f_y(n) = y}\), przy czym korzystamy ze wspomnianej jednoznaczności granic w przestrzeniach Hausdorffa.
Dodano po 42 minutach 28 sekundach:
Taka mała rozkmina. Coś mi zaświtało. Co by było, gdyby zamiast założenia, że każdy punkt naszej przestrzeni \(X\) jest granicą pewnego ciągu elementów ośrodka \(D\), założyć, że każdy punkt w \(X\) ma przeliczalną bazę otoczeń? Mając \(x\in X\) i jego bazę otoczeń \(B_{x}=\lbrace B_{1}, B_{2}, \ ... \rbrace\) możemy (zdaje mi się, że już to kiedyś sprawdzałem) stworzyć nową zstępującą bazę otoczeń \(\lbrace B_{1}, \ B_{1}\cap B_{2}, \ B_{1}\cap B_{2}\cap B_{3}, \ ... \rbrace\). Wybierając z \(D\setminus \lbrace x\rbrace\) po jednym elemencie z każdego ze zbiorów tej nowej bazy dostalibyśmy taki ciąg o wyrazach różnych od \(x\), zbieżny do \(x\). Ale jest pewien problem. Punkt \(x\) może być punktem izolowanym - wtedy na pewno się to nie uda. W związku z tym \(X\) dzieliła by się na zbiór punktów izolowanych i zbiór punktów skupienia, dla których potrafimy wybrać taki (porządny?) ciąg. Pytanie: jak duży może być zbiór punktów izolowanych takiej przestrzeni?
Dodano po 29 minutach 11 sekundach:
Coś cicho się tu zrobiło. Jeśli coś tam jednak rozumiem, to ew. kontrprzykładów należałoby szukać wśród przestrzeni, które nie mają takiej własności dot. baz otoczeń. No jest na przykład \(C([0,1])\) z topologią zbieżności punktowej, ale to jest przecież mocy \(\mathfrak{c}\). Może znacie jakieś fajne ośrodkowe topologie \(T_{2}\) na większych zbiorach? Ja aż takiej wiedzy nie mam.
PS. Czy robimy tu coś nowego, czy wszystko to jest znane od 100 lat?