Rosnący ciąg

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x_j}\) jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x_2-x_1} }{x_1}+ ... + \frac{ \sqrt{x_n-x_{n-1}} }{x_n} < 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1 }{3}+...+ \frac{1}{n^2}. }\)

[Premislav]

Pierwszy z zaprezentowanych wyrazów LHS wydaje się nie odpowiadać tej samej idei konstrukcyjnej, co ostatni. Czy nie miało jednak być
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_2}+\ldots+\frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_n}<1+\frac 1 2+\ldots+\frac 1{n^2}}\)

Ewentualnie (choć intuicyjnie wg mnie taka teza się sypie)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_1}+\ldots+\frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_{n-1}}<1+\frac 1 2+\ldots+\frac 1{n^2}}\).