dowód
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 21 maja 2022, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 3 razy
dowód
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c }\) są długościami boków trójkąta, zaś \(\displaystyle{ R }\) jest długością promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, to:
\(\displaystyle{ a) a^{2}+b^{2}+c^{2}>8R^{2} }\), gdy trójkąt jest ostrokątny
\(\displaystyle{ b) a^{2}+b^{2}+c^{2}<8R^{2}}\) , gdy trójkąt jest rozwartokątny
Próbowałem twierdzeniem sinusów, ale na próbie się skończyło...
\(\displaystyle{ a) a^{2}+b^{2}+c^{2}>8R^{2} }\), gdy trójkąt jest ostrokątny
\(\displaystyle{ b) a^{2}+b^{2}+c^{2}<8R^{2}}\) , gdy trójkąt jest rozwartokątny
Próbowałem twierdzeniem sinusów, ale na próbie się skończyło...
Ostatnio zmieniony 15 lut 2023, o 20:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7942
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1681 razy
Re: dowód
(a)
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa w trójkątach: \(\displaystyle{ CBD, \ \ CAD}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 +BD^2 = 4r^2 \\ b^2 + AD^2 = 4R^2. \end{cases} }\)
Dodając stronami równania układu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + AD^2 + BD^2 = 8R^2 \ \ (1) }\)
Z twierdzenia kosinusów (Carnota) w trójkącie \(\displaystyle{ ADB }\) wynika, że
\(\displaystyle{ c^2 = AD^2 + BD^2 - 2AD\cdot BD \cdot \cos(\delta) = AD^2 +BD^2 -2AD\cdot BD\cdot \cos(180^{o}- \gamma) = AD^2+BD^2+2AD\cdot BD\cdot\cos(\gamma) \ \ (2) }\)
Dla wartości \(\displaystyle{ 0^{o}< \gamma < 90^{o}, \ \ \cos(\gamma)>0. }\)
Stąd i z \(\displaystyle{ (2) \ \ c^2 > AD^2 + BD^2 \ \ (3)}\)
Z \(\displaystyle{ (3) }\) i z \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ a^2 +b^2 + c^2 > 8R^2 }\)
\(\displaystyle{ \Box }\)
(b) - podobnie
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa w trójkątach: \(\displaystyle{ CBD, \ \ CAD}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 +BD^2 = 4r^2 \\ b^2 + AD^2 = 4R^2. \end{cases} }\)
Dodając stronami równania układu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + AD^2 + BD^2 = 8R^2 \ \ (1) }\)
Z twierdzenia kosinusów (Carnota) w trójkącie \(\displaystyle{ ADB }\) wynika, że
\(\displaystyle{ c^2 = AD^2 + BD^2 - 2AD\cdot BD \cdot \cos(\delta) = AD^2 +BD^2 -2AD\cdot BD\cdot \cos(180^{o}- \gamma) = AD^2+BD^2+2AD\cdot BD\cdot\cos(\gamma) \ \ (2) }\)
Dla wartości \(\displaystyle{ 0^{o}< \gamma < 90^{o}, \ \ \cos(\gamma)>0. }\)
Stąd i z \(\displaystyle{ (2) \ \ c^2 > AD^2 + BD^2 \ \ (3)}\)
Z \(\displaystyle{ (3) }\) i z \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ a^2 +b^2 + c^2 > 8R^2 }\)
\(\displaystyle{ \Box }\)
(b) - podobnie
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5764
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 528 razy
Re: dowód
To też brałem pod uwagę, ale nie zauważyłem takiego właśnie założenia w zadaniu...
Dodano po 2 minutach 6 sekundach:
Trójkąt zadaniowy nie jest prostokątny, ale ok już zaczynam kumać co Janusz miał na myśli...
Dodano po 5 minutach 13 sekundach:
Dzięki za roświetlenie sytuacji...
Dodano po 2 minutach 6 sekundach:
Trójkąt zadaniowy nie jest prostokątny, ale ok już zaczynam kumać co Janusz miał na myśli...
Dodano po 5 minutach 13 sekundach:
Dzięki za roświetlenie sytuacji...
-
- Administrator
- Posty: 34543
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy