Ultrafiltry i Filtry

[paulina-21]

Mam do zrobienia zadanko jednak nie wiem jak się za nie zabrać. Bardzo proszę o rozwiązanie wraz z wytłumaczeniem

Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ U}\) jest ultrafiltrem, a \(\displaystyle{ F}\) jest filtrem i \(\displaystyle{ U\subseteq F}\), to \(\displaystyle{ U=F}\).

[Jan Kraszewski]

A jaką masz definicję ultrafiltru?

JK

[paulina-21]

Niestety jest to zadanie dodatkowe i żadnych definicji nie dostałam. Mam jedynie te które znalazłam w internecie, jednak nie wiem, z czego skorzystać żeby to wykazać.

1) Ultrafiltrem w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) nazywamy każdy taki filtr \(\displaystyle{ U}\), którego jedynym rozszerzeniem jest \(\displaystyle{ U}\).
2) W odniesieniu do filtrów w algebrach Boole'a i filtrów podzbiorów danego zbioru - Filtry maksymalne są też często nazywane ultrafiltrami

[Jan Kraszewski]

Niestety jest to zadanie dodatkowe i żadnych definicji nie dostałam.

No to trochę bez sensu, bo jedną z równoważnych definicji ultrafiltru jest właśnie ta, że jest to filtr maksymalny. Wtedy Twoje zadanie jest "puste", bo wynika wprost z definicji.

JK

[paulina-21]

A jak można to w prosty sposób pokazać na jakimś przykładzie?

[Jan Kraszewski]

Ale co?

JK

[paulina-21]

Jeżeli wezmę sobie niepusty zbiór \(\displaystyle{ X}\), który zawiera dwa różne elementy \(\displaystyle{ a, b\in X }\) i rozważymy sobie rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{F} = \{F \in 2^{X}: a \in F \cap b \in F\}}\) to widać, że \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest filtrem. Ale nie jest ultrafiltrem bo ma rozszerzenie \(\displaystyle{ G=\{F\in 2^{X}: a \in F\}}\).
Jak to przekształcić, żeby \(\displaystyle{ F}\) było jednocześnie ultrafiltrem?

[Jan Kraszewski]

Jak to przekształcić, żeby \(\displaystyle{ F}\) było jednocześnie ultrafiltrem?

Nie rozumiem, co masz na myśli. \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest filtrem, który nie jest ultrafiltrem, a \(\displaystyle{ \mathcal{G}}\) jest ultrafiltrem. Co chcesz przekształcać?

JK

[paulina-21]

Ja musze to zadanie jakoś wykazać na przykładzie pomimo, że jest ono "puste".
I w tym proszę o pomoc

Czy mógłbyś mi coś zasugerować?

[Jan Kraszewski]

Ale ja nie rozumiem, na czym miałoby to "rozwiązanie" polegać. Stwierdzenie "wykazać zadanie na przykładzie" jest wg mnie bezsensowne.

JK