Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi
-
- Użytkownik
- Posty: 3416
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 993 razy
- Pomógł: 3 razy
Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą takimi liczbami całkowitymi, że \(\displaystyle{ a \sqrt{2}+b \sqrt{3} +c \sqrt{6}=0 }\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
-
- Użytkownik
- Posty: 3416
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 993 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi
No, ale jak zacząć? Do czego dążyć? Próbowałem to stronami podnosić do kwadratu, ale niewiele mi z tego wyszło.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 9 gru 2022, o 17:10
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 33
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4090
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi
Możesz rozwinąć myśl. Nie widzę jak to miało by pomóc.
Podniesienie do kwadratu to dobry pomysł. Ale najpierw załóż nie wprost, że takie \(\displaystyle{ a,b,c\in \ZZ}\) istnieją i co najmniej jedna nie jest zerem. Oczywiście jeśli już to by się miało udać to każda z nich nie mogła by być zerem więc wlog niech \(\displaystyle{ a,b,c\in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\} }\). Wtedy
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}=- \sqrt{3} \times \left( b+c \sqrt{2} \right) }\)
podniesienie tego do kwadratu natychmiast doprowadzi do sprzeczności typu \(\displaystyle{ \sqrt{2}\in \QQ }\).
Swoją drogą zadanie można mocno uogólnić. Dowód nie będzie już taki prosty ale generalnie są znane twierdzenia mówiące o postaci liczb które tworzą układy liniowo niezależne w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ (\RR,+,q\cdot)_{q\in\QQ}}\).
Kod: Zaznacz cały
qchu.wordpress.com/2009/07/02/square-roots-have-no-unexpected-linear-relationships/
-
- Użytkownik
- Posty: 3416
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 993 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi
Ok w takim razie mam na to pewien pomysł. Powiedzcie mi czy tak jest dobrze:
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}+b \sqrt{3}=-c \sqrt{6} }\), podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ 2a^2+2 \sqrt{6}ab+3b^2=6c^2 }\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{6}ab=6c^2-2a^2-3b^2 }\)
I teraz jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i \(\displaystyle{ b \neq 0}\) to
\(\displaystyle{ \sqrt{6}= \frac{6c^2-2a^2-3b^2}{2ab} }\)
i mamy sprzeczność. Zatem przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest równa zero.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b \neq 0}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ 3b^2=6c^2}\)
\(\displaystyle{ b^2=2c^2}\)
No i mamy sprzeczność, bo po lewej stronie w rozkładzie jest parzysta liczba dwójek, a po prawej nieparzysta.
No to załóżmy, że \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i \(\displaystyle{ b=0}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ 2a^2=6c^2}\)
\(\displaystyle{ a^2=3c^2}\)
No i znowu sprzeczność, po lewej parzysta, a po prawej nieparzysta liczba trójek. Zatem musi być
\(\displaystyle{ a=b=0}\), no ale to wtedy \(\displaystyle{ c=0}\) i koniec. Czy tak jest dobrze?
Dodano po 1 dniu 46 minutach 34 sekundach:
Czy może się ktoś wypowiedzieć?
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}+b \sqrt{3}=-c \sqrt{6} }\), podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ 2a^2+2 \sqrt{6}ab+3b^2=6c^2 }\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{6}ab=6c^2-2a^2-3b^2 }\)
I teraz jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i \(\displaystyle{ b \neq 0}\) to
\(\displaystyle{ \sqrt{6}= \frac{6c^2-2a^2-3b^2}{2ab} }\)
i mamy sprzeczność. Zatem przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest równa zero.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b \neq 0}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ 3b^2=6c^2}\)
\(\displaystyle{ b^2=2c^2}\)
No i mamy sprzeczność, bo po lewej stronie w rozkładzie jest parzysta liczba dwójek, a po prawej nieparzysta.
No to załóżmy, że \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i \(\displaystyle{ b=0}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ 2a^2=6c^2}\)
\(\displaystyle{ a^2=3c^2}\)
No i znowu sprzeczność, po lewej parzysta, a po prawej nieparzysta liczba trójek. Zatem musi być
\(\displaystyle{ a=b=0}\), no ale to wtedy \(\displaystyle{ c=0}\) i koniec. Czy tak jest dobrze?
Dodano po 1 dniu 46 minutach 34 sekundach:
Czy może się ktoś wypowiedzieć?
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1503
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 476 razy
Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi
Ja się wypowiem. Wrzucileś zadanie ze zbioru zadań CKE do nowej matury rozszerzonej. Jest tam wzorcowe rozwiązanie. Nie rozumiesz go czy nie podoba ci się ?
-
- Użytkownik
- Posty: 3416
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 993 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi
Ja nawet nie wiedziałem, że to jest zadanie ze zbioru zadań CKE. Ok, ale to moje rozwiązanie jest w sumie analogiczne do tego wzorcowego, zgadza się?