Asymptoty funkcji bez użycia reguły de l'Hospitala

[mardosia]

Hej,
Czy ktoś mógłby mi pomóc policzyć wszystkie asymptoty funkcji \(\displaystyle{ f(x)=xe^{2/x}+1 }\)
Wiem jak to zrobić korzystając z reguły de l'Hospitala,
ale musimy obliczyć bez reguły robiąc jakieś przekształcenia
please help

[janusz47]

\(\displaystyle{ f(x) = x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \left(x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1\right) = \lim_{x\to -\infty} \frac{e^{\frac{2}{x}}}{\frac{1}{x}} + 1 = -\infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{-}}\left( x\cdot e^{\frac{2}{x}} +1\right) = 0 \cdot 1 + 1 = 1.}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}\left( xe^{\frac{2}{x}} +1\right) \leq \lim_{x\to 0^{+}} e^{\frac{2}{x}} = e^{+\infty} = +\infty}\) (na podstawie nierówności \(\displaystyle{ x\cdot e^{\frac{2}{x}} < e^{\frac{2}{x}} -1 }\), którą należy udowodnić)

Wykres funkcji ma asymptotę pionową prawostronną o równaniu \(\displaystyle{ x = 0 }\) (oś \(\displaystyle{ Oy}\)).

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left(x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1\right) = \lim_{x\to \infty} \frac{e^{\frac{2}{x}}}{\frac{1}{x}} + 1= \frac{1}{0}+1 =\infty.}\)

Równanie asymptoty ukośnej (pochyłej)

\(\displaystyle{ a = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to \pm \infty} \left(\frac{xe^{\frac{2}{x}}}{x} + \frac{1}{x}\right) = \lim_{x\to \pm \infty} \left(e^{\frac{2}{x}} + \frac{1}{x}\right) = 1 + 0 = 1.}\)

\(\displaystyle{ b = \lim_{x\to \pm \infty } (f(x) - ax) = \lim_{x\to \pm \infty} \left(xe^{\frac{2}{x}} +1 -1\cdot x \right) =\lim_{x\to \pm \infty} x\cdot\left(e^{\frac{2}{x}} -1\right)+1 = \lim_{x\to \pm \infty} 2\cdot\left(\frac{e^{\frac{2}{x}}-1}{\frac{2}{x}}\right) + 1 = 2\cdot 1 + 1 = 3.}\)

Wykorzystano wartość granicy \(\displaystyle{ \frac{e^{\frac{2}{x}} -1}{\frac{2}{x}} \rightarrow 1 }\) , gdy \(\displaystyle{ x \to \infty }\)

Wykres funkcji ma asymptotę ukośną (pochyłą) obustronną o równaniu \(\displaystyle{ y = x +3.}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ f(x) = x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \left(x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1\right) = \lim_{x\to -\infty} \frac{e^{\frac{2}{x}}}{\frac{1}{x}} + 1 = -\infty}\)

Prościej \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \left(x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1\right) =-\infty\cdot 1+1=-\infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{-}}\left( x\cdot e^{\frac{2}{x}} +1\right) = 0 \cdot 1 + 1 = 1.}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}\left( xe^{\frac{2}{x}} +1\right) \leq \lim_{x\to 0^{+}} e^{\frac{2}{x}} = e^{+\infty} = +\infty}\) (na podstawie nierówności \(\displaystyle{ x\cdot e^{\frac{2}{x}} < e^{\frac{2}{x}} -1 }\), którą należy udowodnić)

Z faktu że jakieś wyrażenie jest mniejsze od nieskończoności nic nie wynika. A podana nierówność, wyciągnięta z kapelusza) zdecydowanie nie jest prawdziwa dla wszystkich `x` (dla `x=1` dostajemy `e^2<e^2-1`).

Dla dodatnich `x` mamy \(\displaystyle{ e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}}\), zatem \(\displaystyle{ xe^{2/x}>x+2+\frac2x}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ xe^{\frac{2}{x}} >e^{\frac{2}{x}} -1}\)

\(\displaystyle{ f(x) = xe^{\frac{2}{x}}-e^{\frac{2}{x}}+1 }\)

\(\displaystyle{ f'(x) = e^{\frac{2}{x}} - x\cdot \frac{2}{x^2}\cdot e^{\frac{2}{x}}+ \frac{2}{x^2}\cdot e^{\frac{2}{x}} = e^{\frac{2}{x}} \left(1 -\frac{2x}{x^2}+\frac{2}{x^2}\right) = e^{\frac{2}{x}} \left( \frac{x^2 -2x +2}{x^2} \right) >0 }\)

Nierówność powinna być przeciwną, dzięki za zwrócenie uwagi.

[a4karo]

Z fakty, że funkcja rośnie nie wynika, że jest dodatnie. W rzeczywistości ona dąży do `-\infty` z prawej strony zera.

[janusz47]

Z prawej strony zera funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x\cdot e^{\frac{2}{x}} +1 }\) dąży do \(\displaystyle{ +\infty. }\)

[a4karo]

To prawda, się tego nie udowodniłeś. Za to drugi składnik dąży do minus nieskończoności dużo szybciej więc Twój argument z pochodna funkcji jest nic nie warty

[janusz47]

Ta krytyka nic nie wnosi. Nie znasz przebiegu funkcji. Present your proof.

[a4karo]

Dowód już pokazałem.

Natomiast twoja poprawiona, czy jak wolisz, odwrócona też jest do niczego bo dla `x=1/2` daje
`e^4/2>e^4-1`

[janusz47]

Gdzie on jest ?

[a4karo]

W moim pierwszym poście w tym wątku

[janusz47]

To nie jest dowód.

[a4karo]

Faktycznie. To są wskazówki dla myślącego człowieka.
I nie mają takich bledów jak twoje niesprawdzone pomysły, którymi ogłupiasz czytelników

[janusz47]

Nie potrafisz przyznać się do błędów, które też popełniasz !

[Jan Kraszewski]

Z tej rozmowy robi się zbyt długi OT.

Nie potrafisz przyznać się do błędów, które też popełniasz !

Nie wskazałeś a4karo żadnego konkretnego błędu, który popełnił, więc zarzut jest od czapy.

JK