Okreslenie czy działanie jest wewnętrzne

[Hamburger5958]

W zbiorze \(\displaystyle{ G = \RR \setminus \{−1}\}\) określamy działanie \(\displaystyle{ \odot}\) wzorem \(\displaystyle{ x \odot y = x + y + xy}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ (G, \odot)}\) jest grupą abelową.
Jak w takim przykładzie sprawdzić czy działanie jest wewnętrzne?

[Janusz Tracz]

Pisz w \(\displaystyle{ \LaTeX}\). Czy znasz definicję grupy abelowej? Trzeba sprawdzić, że \(\displaystyle{ (\RR \setminus \left\{ -1\right\}, \odot )}\) to grupa oraz dodatkowo, że \(\displaystyle{ \odot}\) jest przemienne. Pokażę Ci jak znaleźć element naturalny \(\displaystyle{ e}\) to jest taki, że \(\displaystyle{ (\forall x\in \RR \setminus \left\{ -1\right\}) e \odot x = x \odot e = x }\). Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ e=0}\) jest takim elementem. Faktycznie \(\displaystyle{ x+0+0x=x}\). Spróbuj pokazać łączność \(\displaystyle{ \odot}\) oraz fakt, że każdy \(\displaystyle{ x}\) ma element przeciwny czyli taki, że \(\displaystyle{ x\odot x' =0}\) oraz \(\displaystyle{ x'\odot x=0}\). Swoją drogą możesz zacząć od przemienności \(\displaystyle{ \odot}\) bo warto to mieć od razu. Co do wewnętrzności \(\displaystyle{ \odot}\) to nie wiem jaką masz delicję działania wewnętrznego. Według mnie tu nie ma nic do sprawdzania oprócz tego, że nie da się wpaść w \(\displaystyle{ -1}\). To znaczy, że nie ma takich \(\displaystyle{ x,y\in \RR \setminus \left\{ -1\right\}}\), że \(\displaystyle{ x\odot y=-1}\). A żeby to zobaczyć to załóżmy nie wprost, że są czyli \(\displaystyle{ x+y+xy=-1}\) to oznacza, że \(\displaystyle{ (1+x)(1+y)=0}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ x=-1}\) lub \(\displaystyle{ y=-1}\) a to sprzeczność bo \(\displaystyle{ \text{dom}\left( \odot\right) = \left( \RR \setminus \left\{ -1\right\}\right) \times \left( \RR \setminus \left\{ -1\right\}\right) }\).

PS wpadnięcie na to, że \(\displaystyle{ e=0}\) mogło wyglądać magicznie. Więc trochę heurystyki. Skoro \(\displaystyle{ e}\) ma być dobre dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) to w szczególności dla \(\displaystyle{ x=0}\) też. Ale dla \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy natychmiast, że \(\displaystyle{ e=0}\). Taką hipotezę sprawdzamy ogólnie i szczęśliwie działa. Lub inaczej myślimy, że \(\displaystyle{ x}\) jest ustalony i szukamy rozwiązania równania \(\displaystyle{ x+e+ex=x}\).

PPS Umiałby ktoś dla rozrywki rozwiązać to zadanie jakimś magicznym sposobem? W stylu zauważmy, że działanie \(\displaystyle{ \odot}\) jest przepchnięte przez bijekcję z jakiejś znanej grupy.

[Jan Kraszewski]

Jak w takim przykładzie sprawdzić czy działanie jest wewnętrzne?

JK

[Dasio11]

PPS Umiałby ktoś dla rozrywki rozwiązać to zadanie jakimś magicznym sposobem? W stylu zauważmy, że działanie \(\displaystyle{ \odot}\) jest przepchnięte przez bijekcję z jakiejś znanej grupy.

Funkcja \(\displaystyle{ \varphi : (\mathbb{R} \setminus \{ -1 \}, \odot) \to (\mathbb{R}^{\times}, \cdot)}\) dana wzorem \(\displaystyle{ \varphi(x) = x+1}\) jest izomorfizmem.