granica ułamka i sumy

[major37]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{1+2+4+....2^n}{2^n}}\) Licznik jest sumą ciągu geometrycznego, więc policzyłem tą sumę, a następnie granice i granica wyszła 1, a w książce jest odpowiedź 2, gdzie jest błąd ? Proszę o pomoc.

[Janusz Tracz]

Nie trzeba tak, ale:

\(\displaystyle{ \frac{1+2+4+\dots+2^{n-1}+2^n}{2^n}= \frac{2^n+2^{n-1}+\dots+4+2+1}{2^n}=1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+\dots+ \frac{1}{2^n} \rightarrow 2. }\)

kilk:    

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{1+2+4+....2^n}{2^n}}\) Licznik jest sumą ciągu geometrycznego, więc policzyłem tą sumę, a następnie granice i granica wyszła 1, a w książce jest odpowiedź 2, gdzie jest błąd ? Proszę o pomoc.

Zapewne źle policzyłeś sumę, bo zapomniałeś, że ten ciąg ma \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazów (a nie \(\displaystyle{ n}\)).

JK

[major37]

Czy iloraz tego ciągu w liczniku to 2 ?

Dodano po 4 minutach 38 sekundach:
Chyba rozumiem. Ciąg zaczyna się od wyrazu pierwszego, który jest równy 2, a nie jeden ?

[Jan Kraszewski]

Chyba rozumiem. Ciąg zaczyna się od wyrazu pierwszego, który jest równy 2, a nie jeden ?

To dość dziwne podejście i niezupełnie wiem, o co Ci chodzi.

Jak masz sumę \(\displaystyle{ 1+2+4+....2^n=2^0+2^1+...+2^n}\), to jest to suma ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ 1}\), ilorazie \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazach, więc

\(\displaystyle{ 1+2+4+...+2^n=1\cdot\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1.}\)

JK