Egzamin z algebry II (zawaliłam) (dwa na koniec)

[Niepokonana]

No bo było takie zadanie, że była forma kwadratowa dana wzorem \(\displaystyle{ 7x_{1}^{2}+7x_{2}^{2}+7x_{3}^{2}-10x_{1}x_{2}+10x_{1}x_{3}+10x_{2}x_{3}}\). I trzeba było napisać macierz tej formy kwadratowej i policzyć wartości własne tej macierzy.
Mi wyszła taka macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
7&-5&5\\
-5&7&5\\
5&5&7
\end{bmatrix}}\)

No i trzeba było znaleźć tego czegoś wartości własne, ale koniecznie wielomianem charakterystycznym, inaczej się oblewa i już nie ma to tamto. Trzeba rozłożyć ten wielomian na czynniki pierwsze i w ten sposób powalić potworka. Tylko, że mi wyszedł taki potworek, gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) to szukana wartość własna:
\(\displaystyle{ -\lambda ^{3}+21\lambda ^{2}-72\lambda-432}\)
Nie mam pojęcia, jak to rozłożyć na czynniki bez wzorów Cardano, a doktor mimo wszystko nie jest aż takim sadystą, by wymagać wzorów Cardano zwłaszcza, że na zajęciach nigdy z nich nie korzystaliśmy. Gdzie ja mam błąd?! To nie fair, ja nie po to mam na imię Niepokonana, żeby jakaś głupia algebra mnie pokonała... No i Niepokonana została pokonana... Ja się tyle uczyłam, naprawdę, i tu co nic z tego.
Oczywiście to nie był cały egzamin, ale bez tej połówki z durnym wielomianem nie można było zaliczyć. Na przykład jaką figurę dostaniemy po przyrównaniu tej formy do \(\displaystyle{ 1}\). Moim zdaniem hiperboloidę jednopowłokową, ale nie wiem jak to ładnie wyjaśnić bez wartości własnych. W ogóle nie spoko, 2/10.

[3a174ad9764fefcb]

Spójrz na pierwsze dwie kolumny tej macierzy. Jaka wartość \(\lambda\) sprawi, że te dwa wektory staną się proporcjonalne?
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}7-\lambda\\-5\\5\end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}-5\\7-\lambda\\5\end{pmatrix}}\)
Zatem jedną z wartości własnych jest \(12\), ale skoro zasady egzaminu są jakie są, to trzeba najpierw napisać wielomian, a dopiero potem sprawdzić, że \(12\) jest jego pierwiastkiem.

[Niepokonana]

Jak Ty to zauważyłeś?! Ale proszę o podpowiedź zgodną z narzuconym sposobem rozwiązywania zadań. Co było błędem? Poza wyborem kierunku studiów oczywiście.

[janusz47]

Równanie charakterystyczne macierzy:

\(\displaystyle{ |A -\lambda I | = \left| \begin{matrix} 7-\lambda & -5 & 5 \\ -5 & 7-\lambda & 5 \\ 5 & 5 & 7-\lambda \end{matrix} \right|= 0 }\)

Do wiersza drugiego dodajemy wiersz trzeci: \(\displaystyle{ (w_{2}+ w_{3} )}\)

\(\displaystyle{ \left| \begin{matrix} 7-\lambda & -5 & 5\\ 0 & 12-\lambda & 12-\lambda \\ 5 & 5 & 7-\lambda \end{matrix} \right|= 0 }\)

Od kolumny trzeciej odejmiemy kolumnę drugą \(\displaystyle{ ( k_{3}-k_{2}) }\)

\(\displaystyle{ \left| \begin{matrix} 7-\lambda & 10 & 5\\ 0 & 0 & 12-\lambda \\ 5 & 2-\lambda & 7-\lambda \end{matrix} \right|= 0 }\)

Rozwijamy wyznacznik według drugiego wiersza:

\(\displaystyle{ (\lambda-12) \left|\begin{matrix} 7-\lambda & 10 \\ 5 & 2-\lambda \end{matrix} \right| = 0 }\)

\(\displaystyle{ (\lambda -12)[(7-\lambda)(2-\lambda)- 50] = 0 }\)

\(\displaystyle{ (\lambda -12)( \lambda^2-9\lambda -36) = 0 }\)

\(\displaystyle{ \Delta = 81 +144=225, \ \ \sqrt{\Delta}=15, \ \ \lambda_{1} = \frac{9-15}{2} = -3, \ \ \lambda_{2} = \frac{9+15}{2}= 12.}\)

\(\displaystyle{ (\lambda-12)(\lambda +3)(\lambda-12) = 0 }\)

Sprawdzenie obliczonych wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ A }\) w programie OCTAVE

Kod: Zaznacz cały

>> A=[7 -5 5;-5 7 5;5 5 7]
A =

   7  -5   5
  -5   7   5
   5   5   7

>> eig(A)
ans =

   -3
   12
   12

[3a174ad9764fefcb]

Jeszcze kilka niezależnych podpowiedzi.

Ale proszę o podpowiedź zgodną z narzuconym sposobem rozwiązywania zadań.

Szukanie pierwiastków wymiernych
Czyli mamy wielomian trzeciego stopnia i chcemy go rozłożyć na czynniki. Możemy śmiało założyć, że układający zadanie zadbał o to, żeby przynajmniej jeden z pierwiastków był liczbą wymierną. Niestety potencjalnie może to oznaczać sprawdzenie \(40\) liczb postaci \(\pm2^{\le4}3^{\le3}\). Załóżmy więc optymistycznie, że egzaminator był łaskaw dać wszystkie pierwiastki wymierne. Nasz wielomian jest nieparzystego stopnia, więc ma przeciwne znaki na końcach dziedziny: \(w(\pm\infty)=\mp\infty\). Możemy ten przedział ograniczać, sprawdzając znak środkowej z możliwych wartości (coś jakby bisekcja), np. \(w(1)<0\), więc możemy być pewni, że jest pierwiastek w przedziale \((-\infty,1)\). Mamy więc już tylko \(20\) możliwości do sprawdzenia. Sprawdzając znowu wartość dla środkowego argumentu znowu zmniejszamy zbiór możliwych pierwiastków wymiernych o połowę, i tak dalej aż dojdziemy do \(w(-3)=0\). Możemy sobie to usprawnić, jeśli zauważymy, że pierwiastek całkowity takiego wielomianu musi być podzielny przez trzy. Jest to trochę sprawdzeń, ale znacznie mniej niż \(40\).

Na przykład jaką figurę dostaniemy po przyrównaniu tej formy do \(\displaystyle{ 1}\). Moim zdaniem hiperboloidę jednopowłokową, ale nie wiem jak to ładnie wyjaśnić bez wartości własnych.

Rozpoznanie typu powierzchni dla tego wielomianu
Jak mamy taki nieszczęsny wielomian, to możemy spojrzeć na wyraz wolny i stwierdzić, że wyznacznik macierzy (czyli \(\lambda_1\lambda_2\lambda_3=-432\)) jest ujemny. Zatem mamy dwie wartości własne dodatnie i jedną ujemną albo wszystkie ujemne. Zatem jest to hiperboloida jednopowłokowa albo zbiór pusty. Jeśli zaś spojrzymy na drugi współczynnik, to ślad macierzy (równy \(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=21\)) jest dodatni, zatem wartości własne nie mogą być wszystkie ujemne. Nie jest to uniwersalna metoda, ale tutaj zadziałała.

Jak Ty to zauważyłeś?!

Przypadek wielomianu z pierwiastkiem podwójnym
Poszczęściło mi się chyba dlatego, że autor zadania wymyślił, że jedna z przestrzeni własnych będzie dwuwymiarowa. W takim razie koniecznie należy do tej przestrzeni wektor własny postaci \((x_1,x_2,0)\). Dlatego z samych dwóch kolumn macierzy można było wywnioskować wartość własną. Gdybyśmy skądś wcześniej wiedzieli, że wielomian charakterystyczny ma pierwiastek podwójny, tobyśmy mogli go znaleźć za pomocą pochodnej.

Symetria powierzchni zadanej równaniem
A czy mogliśmy się spodziewać, że będzie pierwiastek podwójny? Nie wiem, ale gdy się nad tym zastanowić, to w definicji tej kwadryki widać pewną symetrię. Jeśli zamienimy rolami \(x_1\) i \(x_2\), kwadryka nam się nie zmieni. Jest zatem symetryczna względem płaszczyzny \(\mathrm{lin}\{(1,1,0),(0,0,1)\}\). Płaszczyzna może pomieścić tylko dwa liniowo niezależne wektory, dlatego co najmniej jeden z wektorów własnych \(v_1\) nie jest zawarty w tej płaszczyźnie. Wtedy wektor \(v_1'\) odbity symetrycznie względem płaszczyzny ma tę samą wartość własną. Zatem ich różnica \(v_1-v_1'\) też jest wektorem własnym o tej wartości. Ale \(v_1-v_1'\) jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny symetrii. Czyli po prostu wektor \((1,-1,0)\) musi być wektorem własnym. Można to potraktować jako wskazówkę przy rozkładaniu wielomianu charakterystycznego.

Metoda bez wartości własnych
Tak to dobrze idzie z wartościami własnymi, że może zostanę fanem tej metody. Ale inaczej też można sobie poradzić tak. Zapisujemy macierz formy kwadratowej i macierz identyczności.
\(\displaystyle{ (A|I)=\left(\begin{array}{rrr|rrr}
7 & -5 & 5 & 1 & 0 & 0\\
-5 & 7 & 5 & 0 & 1 & 0\\
5 & 5 & 7 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)}\)
Za pomocą operacji na wierszach zerujemy wszystko poza przekątną w macierzy formy. Te same operacje wykonujemy na kolumnach macierzy formy.
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{rrr|rrr}
7 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & \frac{24}7 & \frac{60}7 & \frac57 & 1 & 0\\
0 & \frac{60}7 & \frac{24}7 & -\frac57 & 0 & 1
\end{array}\right)}\)

\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{rrr|rrr}
7 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & \frac{24}7 & 0 & \frac57 & 1 & 0\\
0 & 0 & -\frac{126}7 & -\frac57 & -\frac{5}{2} & 1
\end{array}\right)=(SAS^T|S)}\)
Zatem po podstawieniu \(\tilde{x}=(S^T)^{-1}x\) otrzymujemy równanie powierzchni \(\displaystyle{ 7\tilde{x}_1^2+\frac{24}7\tilde{x}_2^2-\frac{126}7\tilde{x}_3^2=1.}\) Obliczenie tej macierzy \(S\) w zasadzie nie jest tu konieczne. Może przydałoby się, gdyby oprócz formy kwadratowej były jeszcze wyrazy liniowe.

[janusz47]

Jest to równanie nieskończonej powierzchni stożkowej:

\(\displaystyle{ 12x^2_{1} +12x^2_{2} - 3x^2_{3} = 0 }\)

a nie hiperboloidy jednopowłokowej.

[krl]

Na przykład jaką figurę dostaniemy po przyrównaniu tej formy do \(\displaystyle{ 1}\). Moim zdaniem hiperboloidę jednopowłokową

@janusz47: nie zrozumiałeś, co to jest "to".

[janusz47]

Jeśli w poleceniu zadania na egzaminie Pani Niepokonanej było polecenie przyrównać to równanie do \(\displaystyle{ 1, }\) to wtedy otrzymujemy równanie hipreboloidy jednopowłókowej ale w postaci:

\(\displaystyle{ 12x^2_{1} + 12x^2_{2} - 3x^2_{3} = 1 }\)

Dziękuję krl za zwrócenie uwagi.

[3a174ad9764fefcb]

otrzymujemy równanie hipreboloidy jednopowłókowej ale w postaci:

\(\displaystyle{ 12x^2_{1} + 12x^2_{2} - 3x^2_{3} = 1 }\)

Każda hiperboloida jednopowłokowa ma w pewnej bazie równanie \(x_1^2+x_2^2-x_3^2=1\)? Bazy ortogonalnej potrzebujemy wtedy, gdy chcemy powiedzieć, że piłka o promieniu \(3\) może przelecieć przez przewężenie w hiperboloidzie, a piłka o promieniu \(4\) się nie zmieści. Pewnie z takich praktycznych powodów w zadaniu jest wymóg, żeby skorzystać z bazy ortogonalnej. Jednak gdyby nam chodziło tylko o rozstrzygnięcie rodzaju powierzchni, to nic nie stałoby na przeszkodzie, żeby skorzystać z metody, o której wspomniałem.