Losowanie z talii kart

[Karka20]

Mamy dwie talie kart jedną uczciwą składającą się z \(\displaystyle{ 52}\) kart w czterech kolorach po \(\displaystyle{ 13}\) pików, kierów, karo i trefli oraz drugą fałszywą, która liczy \(\displaystyle{ 52}\) karty ale czarne kolory są w niej podwójne to znaczy zawiera \(\displaystyle{ 2}\) razy po \(\displaystyle{ 13}\) pików i trefli. Wykonujemy następującą procedurę losową: najpierw losujemy talię kart a następnie ciągniemy z niej \(\displaystyle{ 13}\) kart bez zwracania.
• Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) czarnych asów.
• Jaka jest szansa, że losowaliśmy z czarnej talii kart jeśli otrzymaliśmy dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) czarne asy.

[3a174ad9764fefcb]

Pierwszy punkt, to oczywiście wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Jeśli \(A\) oznacza wylosowanie dokładnie dwóch czarnych asów, \(H_1\) - wylosowanie normalnej talii, \(H_2\) - wylosowanie czarnej talii, to
\(\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A|H_1)\mathbb{P}(H_1)+\mathbb{P}(A|H_2)\mathbb{P}(H_2)=\frac12(\mathbb{P}(A|H_1)+\mathbb{P}(A|H_2))\)

Drugi punkt ma trochę dziwną treść (jakoś trudno mi sobie wyobrazić, że wylosowaliśmy trzynaście kart, a wiemy tylko czy wylosowaliśmy dokładnie dwa czarne asy), ale mniejsza o to. Można skorzystać ze wzoru Bayesa:
\(\mathbb{P}(H_2|A)=\ldots\)

[Karka20]

Pierwszy punkt, to oczywiście wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Jeśli \(A\) oznacza wylosowanie dokładnie dwóch czarnych asów, \(H_1\) - wylosowanie normalnej talii, \(H_2\) - wylosowanie czarnej talii, to
\(\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A|H_1)\mathbb{P}(H_1)+\mathbb{P}(A|H_2)\mathbb{P}(H_2)=\frac12(\mathbb{P}(A|H_1)+\mathbb{P}(A|H_2))\)

Czy to będzie \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2} {2 \choose 2} {50 \choose 11}+ \frac{1}{2} {4 \choose 2} {48 \choose 11} }{ {52 \choose 13} } }\) ?

[3a174ad9764fefcb]

Tak, zgadza się.