Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
W budynku są dwie szatnie: A i B, z których chce skorzystać 900 osób. Wybierają między A i B losowo i niezależnie.
• Niech \(\displaystyle{ X_{A}}\) , \(\displaystyle{ X_{B}}\) oznaczają liczbę osób, którzy skorzystali odpowiednio z szatni \(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ B}\). Przybliż prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ |X_{A}-X_{B}|}\) jest większa niż \(\displaystyle{ 30}\) i znajdź błąd tego przybliżenia.
• Załóżmy, że jest \(\displaystyle{ N}\) osób (zamiast \(\displaystyle{ 900}\)). Przybliż najmniejszą wartość \(\displaystyle{ N}\), dla której \(\displaystyle{ P(|X_{A}-X_{B}|>30)}\) jest większe niż \(\displaystyle{ 0,1}\).
Nie do końca wiem co zrobić z wartością bezwzględna. Proszę o wskazówkę
Warunek \(|X_A-X_B|>30\) zamienia się na alternatywę dwóch nierówności: \(X_A-X_B>30\) lub \(X_A-X_B<-30\). Wiemy, że \(X_B=900-X_A\), stąd możemy dostać nierówności tylko ze zmienną \(X_A\).
Nie spodziewałem się tego pytania, ale spróbuję coś wymyślić. Równość \(X_B=900-X_A\) oznacza, że wszędzie, gdzie występuje \(X_B\), możemy je zastąpić przez \((900-X_A)\). W takim razie wspomniane wcześniej nierówności możemy zamienić na: \(X_A-(900-X_A)>30\) lub \(X_A-(900-X_A)<-30\). To już są nierówności, w których występuje tylko zmienna \(X_A\).
Podsumowując, jeśli \(X_A\) i \(X_B\) spełniają którąś z nierówności: \(X_A-X_B>30\) lub \(X_A-X_B<-30\), to warunki zadania pozwalają stwierdzić, że \(X_A-(900-X_A)>30\) lub \(X_A-(900-X_A)<-30\). Czy do tej pory wszystko jest jasne?
Przejdźmy do sprawy trudniejszej. Jeśli \(X_A-(900-X_A)>30\) lub \(X_A-(900-X_A)<-30\), to korzystając z równości \(X_B=900-X_A\) możemy stwierdzić w drugą stronę, że \(X_A-X_B>30\) lub \(X_A-X_B<-30\). Zatem przy założeniu warunków zadania oba zestawy nierówności są równoważne.
Możemy już zająć się sprawą najtrudniejszą. Powyższe nierówności możemy zastąpić przez: \(X_A>465\) lub \(X_A<435\). Wydaje mi się to prawdą, ale jeszcze myślę nad dowodem. Jeśli to się uda, to potem już wystarczy skorzystać z Centralnego Twierdzenia Granicznego (o ile znamy prawdopodobieństwa, z jakimi ktoś wybiera szatnię \(A\) lub \(B\)).
Wikipedia pisze:
Parametry \(\displaystyle{ n\geqslant 0}\) liczba prób (liczba całkowita) \(\displaystyle{ 0\leqslant p\leqslant 1}\) prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)
Wariancja \(\displaystyle{ np(1-p)}\)
janusz47 pisze: 5 wrz 2022, o 08:40
-jak obliczamy wariancję różnicy dwóch zmiennych losowych ?
Uwzględniając ich korelację. W szczególności \(\mathrm{Var}(X-(-X))=4\mathrm{Var}(X)\) oraz \(\mathrm{Var}(X-X)=0\).
janusz47 pisze: 5 wrz 2022, o 08:40
- z treści zadania wynika, że wybór szatni przez osoby jest losowy, czy jest zależny od innych osób ?
Akurat tu dyskutujemy o czym innym. Czy wybór szatni \(A\) przez osobę \(o_1\) jest zależny od wyboru szatni \(B\) przez osobę \(o_1\)? Tak, bo jeśli ta osoba wybrała szatnię \(A\), to nie wybrała szatni \(B\), a jeśli nie wybrała szatni \(A\), to wybrała szatnię \(B\). Jest to dość wyraźnie napisane w treści zadania:
Karka20 pisze: 3 wrz 2022, o 12:12
Wybierają między A i B
janusz47 pisze: 5 wrz 2022, o 08:48
Błędem w Pańskim rozumowaniu jest to, że zaczął Pan "kombinować " dążąc do wyrażenie jednej zmiennej losowej od drugiej.
Błędem w Pańskim działaniu jest to, że zamiast przeczytać po ludzku treść zadania, kombinuje Pan jak komputerek.
Świetne podejście: „Nie obchodzi mnie, że wcześniej zrobiłem dwa błędy, które mają wpływ na wynik. Będę kontynuował pisanie tych durnych cyferek. W ogóle co mnie obchodzi, że \(900\) osób chce skorzystać z szatni? Niech co czwarty nie skorzysta, a co czwarty niech skorzysta z dwóch. Będę stosował własny wzór na wariancję rozkładu dwumianowego, pomimo że różni się on od wzoru ogólnie uznanego.”
W drugim punkcie wynik powinien wynosić \(\displaystyle{ ( \frac{30}{1,64}) ^{2} \approx 335 }\) , natomiast nie wiem jak do niego dojść (dlaczego \(\displaystyle{ ( \frac{30}{1,64}) ^{2}}\), a nie \(\displaystyle{ ( \frac{60}{1,64}) ^{2}}\)?)
