Granice całkowania

[Karka20]

W jakich granicach należy rozwiązać taką całkę?

\(\displaystyle{ f(x,y)= 3e ^{-3y} | _{0 \le x \le 3y} }\)

[janusz47]

To nie jest całka. To jest wzór funkcji dwóch zmiennych zredukowany do zbioru:

\(\displaystyle{ \{ (x,y) \in \RR^2: \ \ 0\leq x\leq 3y \}. }\)

[Karka20]

W zadaniu muszę obliczyć \(\displaystyle{ E(Y|X)}\) i \(\displaystyle{ E(\cos(X)|Y)}\).
Mogę prosić o podpowiedź w jaki sposób to zrobić?

[a4karo]

To może jednak napisz całe zadanie

[3a174ad9764fefcb]

To może jednak napisz całe zadanie

To będzie za proste. Właśnie trudność polega na wymyśleniu brakującej treści. Proponuję:

Niech \(X\) i \(Y\) będą zmiennymi losowymi o łącznej gęstości \(f(x,y)=\ldots\)

Dodano po 3 minutach 12 sekundach:
Tylko jeszcze nie wiadomo, jakie jest polecenie, bo może obliczenie \(\mathbb{E}(Y|X)\) i \(\mathbb{E}(\cos(X)|Y)\) to tylko początek rozwiązania.

[Karka20]

Pełna treść zadania:

Załóżmy, że istnieje losowy wektor \(\displaystyle{ (X, Y)}\) o gęstości \(\displaystyle{ f(x,y)= | _{0 \le x \le 3y} 3e ^{-3y} }\)
• Znajdź \(\displaystyle{ E(Y|X) }\)
• Znajdź \(\displaystyle{ E(\cos(X)|Y) }\)

[3a174ad9764fefcb]

Potrafisz narysować zbiór \(\{(x,y)\in\RR^2: 0\le x\le 3y\}\)?

Jak łatwo zauważyć, jeśli para \((x,y)\) spełnia nierówności \(0\le x\le 3y\), to \(y\ge 0\). Jeśli już sobie ustalimy jakiś \(y\ge0\), to pasują do niego wszystkie wartości \(x\) w przedziale \([0,3y]\). Zatem najłatwiej będzie granice całkowania zapisać:
\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty}\int_0^{3y}\ldots\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y}\)