jednak gdybyśmy chcieli użyć jakiegoś zaawansowanego kalkulatora czy programu komputerowego to
moglibyśmy mieć problem z policzeniem tego wyznacznika
Poniżej przedstawię wielomian charakterystyczny którego współczynniki wyrażone są za pomocą sumy minorów
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ \det{ \begin{bmatrix} a_{11}-\lambda &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}-\lambda&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}-\lambda&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} -\lambda &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ 0&a_{22}-\lambda&a_{23}&a_{24} \\0&a_{32}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}-\lambda&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{11} &0&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&-\lambda&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&0&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&0&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \right) -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} } \right) -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&0&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&0&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&0&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\right) \\-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } - \lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \right)\\-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&0 \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&0 \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&-\lambda \end{bmatrix} } \right) \\- \lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} } \right) \\- \lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }\\
-\lambda\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&0 \\a_{21}&a_{22}&0\\a_{41}&a_{42}&-\lambda \end{bmatrix} } \right) -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }\\
-\lambda\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&0 \\a_{21}&a_{22}&0\\a_{41}&a_{42}&-\lambda \end{bmatrix} } \right) -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }\\
-\lambda\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} \\a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} } \right) -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2 \cdot \det{\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} \\a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} } \\ -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
}\)
\(\displaystyle{
-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }\\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&0&a_{14} \\ a_{31}&-\lambda&a_{34}\\a_{41}&0&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }\right) \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{14} \\a_{41}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }\right) \\
=-\lambda \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&0 \\ a_{31}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{43}&-\lambda\end{bmatrix} } \right)+\lambda^2\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{14} \\a_{41}&a_{44}\end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&0 \\a_{41}&-\lambda\end{bmatrix} }\right) \\
=-\lambda \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13} \\ a_{31}&a_{33}\end{bmatrix} } \right)+\lambda^2\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{14} \\a_{41}&a_{44}\end{bmatrix} } - \lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11} \end{bmatrix} }\right) \\
}\)
\(\displaystyle{
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix} } \right)\\+ \lambda^2\left( \det{\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} \\a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13} \\ a_{31}&a_{33}\end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{14} \\a_{41}&a_{44}\end{bmatrix} }\right)-a_{11}\lambda^3-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
}\)
\(\displaystyle{
-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} -\lambda & a_{23}&a_{24} \\ 0&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ 0&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \right) \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \right) \\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{22} & 0&a_{24} \\ a_{32}&-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&0&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2 \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22} &a_{24} \\ a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2 \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\lambda^2
\det{ \begin{bmatrix} a_{22} &a_{24} \\ a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\lambda^2\cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&0 \\ a_{32}&a_{33} & 0 \\ a_{42}&a_{43}&-\lambda \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2
\det{ \begin{bmatrix} a_{22} &a_{24} \\ a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\lambda^2\cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2
\det{ \begin{bmatrix} a_{22} &a_{24} \\ a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\lambda^2\cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} } \\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&0 \\a_{42}&-\lambda\ \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2\cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} } \\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} }-\lambda\det{ \begin{bmatrix} a_{22} \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2\cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } \right) -a_{22} \cdot \lambda^3\\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{33}&a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} -\lambda &a_{34}\\ 0&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\right)\\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } \right) -a_{22} \cdot \lambda^3\\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{33}&a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda\det{ \begin{bmatrix} a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\right)\\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } \right) -a_{22} \cdot \lambda^3\\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{33}&a_{34} \\ a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{33}&0 \\ a_{43}&-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{44} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} -\lambda \end{bmatrix} }\right)\right)\\
= -\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } \right) -a_{22} \cdot \lambda^3\\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{33}&a_{34} \\ a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }-\lambda\det{ \begin{bmatrix} a_{33} \end{bmatrix} }-\lambda\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{44} \end{bmatrix} }-\lambda\det{ \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} }\right)\right)\\
= -\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{33}&a_{34} \\ a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }\right)-\lambda^3\left( a_{22}+a_{33}+a_{44}\right) + \lambda^4\\
}\)
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}-\lambda&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{11} &0&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&-\lambda&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&0&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&0&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \right) -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} } \right) -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&0&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&0&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&0&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\right) \\-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } - \lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \right)\\-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&0 \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&0 \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&-\lambda \end{bmatrix} } \right) \\- \lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} } \right) \\- \lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }\\
-\lambda\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&0 \\a_{21}&a_{22}&0\\a_{41}&a_{42}&-\lambda \end{bmatrix} } \right) -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }\\
-\lambda\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&0 \\a_{21}&a_{22}&0\\a_{41}&a_{42}&-\lambda \end{bmatrix} } \right) -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }\\
-\lambda\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} \\a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} } \right) -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2 \cdot \det{\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} \\a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} } \\ -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
}\)
\(\displaystyle{
-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }\\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&0&a_{14} \\ a_{31}&-\lambda&a_{34}\\a_{41}&0&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }\right) \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{14} \\a_{41}&a_{44}-\lambda\end{bmatrix} }\right) \\
=-\lambda \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&0 \\ a_{31}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{43}&-\lambda\end{bmatrix} } \right)+\lambda^2\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{14} \\a_{41}&a_{44}\end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&0 \\a_{41}&-\lambda\end{bmatrix} }\right) \\
=-\lambda \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13} \\ a_{31}&a_{33}\end{bmatrix} } \right)+\lambda^2\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{14} \\a_{41}&a_{44}\end{bmatrix} } - \lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{11} \end{bmatrix} }\right) \\
}\)
\(\displaystyle{
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda \cdot\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix} } \right)\\+ \lambda^2\left( \det{\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} \\a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13} \\ a_{31}&a_{33}\end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{14} \\a_{41}&a_{44}\end{bmatrix} }\right)-a_{11}\lambda^3-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
}\)
\(\displaystyle{
-\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22}-\lambda & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} -\lambda & a_{23}&a_{24} \\ 0&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ 0&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \right) \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \right) \\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{22} & 0&a_{24} \\ a_{32}&-\lambda & a_{34} \\ a_{42}&0&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2 \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } -\lambda \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22} &a_{24} \\ a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2 \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\lambda^2
\det{ \begin{bmatrix} a_{22} &a_{24} \\ a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\lambda^2\cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&0 \\ a_{32}&a_{33} & 0 \\ a_{42}&a_{43}&-\lambda \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2
\det{ \begin{bmatrix} a_{22} &a_{24} \\ a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\lambda^2\cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } -\lambda\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2
\det{ \begin{bmatrix} a_{22} &a_{24} \\ a_{42}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\lambda^2\cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} } \\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&0 \\a_{42}&-\lambda\ \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2\cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} } \\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} }-\lambda\det{ \begin{bmatrix} a_{22} \end{bmatrix} }\right) +\lambda^2\cdot \det{ \begin{bmatrix} a_{33}-\lambda & a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} } \\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } \right) -a_{22} \cdot \lambda^3\\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{33}&a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} -\lambda &a_{34}\\ 0&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\right)\\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } \right) -a_{22} \cdot \lambda^3\\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{33}&a_{34} \\ a_{43}&a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda\det{ \begin{bmatrix} a_{44}-\lambda \end{bmatrix} }\right)\\
=-\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } \right) -a_{22} \cdot \lambda^3\\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{33}&a_{34} \\ a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{33}&0 \\ a_{43}&-\lambda \end{bmatrix} }-\lambda\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{44} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} -\lambda \end{bmatrix} }\right)\right)\\
= -\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } \right) -a_{22} \cdot \lambda^3\\+\lambda^2\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{33}&a_{34} \\ a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }-\lambda\det{ \begin{bmatrix} a_{33} \end{bmatrix} }-\lambda\left(\det{ \begin{bmatrix} a_{44} \end{bmatrix} }-\lambda\det{ \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} }\right)\right)\\
= -\lambda \cdot\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }+\lambda^2 \cdot \left(\det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{33}&a_{34} \\ a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }\right)-\lambda^3\left( a_{22}+a_{33}+a_{44}\right) + \lambda^4\\
}\)
=\det{ \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} } \\-\lambda \cdot\left( \det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{14} \\a_{21}&a_{22}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13}&a_{14} \\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}&a_{24} \\ a_{32}&a_{33} & a_{34} \\ a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }\right)\\+ \lambda^2\left( \det{\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} \\a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{13} \\ a_{31}&a_{33}\end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{14} \\a_{41}&a_{44}\end{bmatrix} } + \det{ \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} }+\det{ \begin{bmatrix} a_{22}&a_{24} \\ a_{42}&a_{44} \end{bmatrix} } +\det{ \begin{bmatrix} a_{33}&a_{34} \\ a_{43}&a_{44} \end{bmatrix} }\right)\\-\lambda^3\left(a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}\right)+\lambda^4
}\)
Okazuje się że preferowany przez matematyków sposób obliczania współczynników równania charakterystycznego
jest nieefektywny jeżeli obliczenia chcemy wykonać na kalkulatorze lub w programie matematycznym
Z moich obserwacji wynika że liczba minorów stopnia \(\displaystyle{ n-k}\) potrzebna do policzenia \(\displaystyle{ k.}\) współczynnika wynosi \(\displaystyle{ {n \choose n-k} }\)
a liczba wszystkich potrzebnych minorów to \(\displaystyle{ 2^n}\)
Czy moje obserwacje są prawdziwe ?
Jak wyglądałby wybór minorów w przypadku wielomianu charakterystycznego stopnia \(\displaystyle{ n}\)