Dwóch graczy: Adam i Bob, strzelają naprzemiennie i niezależnie od siebie do małego celu. Każdy strzał kosztuje \(\displaystyle{ 1}\)zł. Zaczyna się od Adama, który trafia z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\). Bob uderza z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3} }\). Gra kończy się, gdy jeden z nich trafi - wtedy otrzymuje nagrodę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Adam zdobędzie tę nagrodę.
Oblicz przewidywaną kwotę pieniędzy, jaką gracze wydadzą na tę grę. Bardziej formalnie, jeśli X oznacza liczbę rund, w których wygrywa Adam lub Bob, to pytanie brzmi: znaleźć EX.
Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 24 lis 2021, o 15:33
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 8 razy
Re: Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana
Jeżeli chodzi o pierwszą część zadania to myślę że odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{8} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana
To, że Adam wygra kiedykolwiek jest na pewno bardziej prawdopodobne, niż to, że wygra już w pierwszym strzale. Więc szukane prawdopodobieństwo musi być na pewno większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Mam nadzieję, że to jest jasne i rozumiesz, dlaczego odpowiedz \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) nie może być poprawna.
Tutaj rozbicie się samo narzuca:
-albo Adam wygra w pierwszym strzale
-albo Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam trafi
-albo Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam trafi,
...
i tak dalej.
Tutaj rozbicie się samo narzuca:
-albo Adam wygra w pierwszym strzale
-albo Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam trafi
-albo Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam nie trafi, Bob nie trafi, Adam trafi,
...
i tak dalej.
-
- Użytkownik
- Posty: 7935
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
Re: Prawdopodobieństwo i wartość oczekiwana
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ A }\) - zdarzenie "trafił Adam",
\(\displaystyle{ P(A) = p = \frac{1}{2}, }\)
\(\displaystyle{ B }\) - zdarzenie "trafił Bob",
\(\displaystyle{ P(B) = q = \frac{1}{3},}\)
\(\displaystyle{ AW }\) - zdarzenie "Adam wygra" (zdobędzie nagrodę),
\(\displaystyle{ P(AW) }\) - prawdopodobieństwo zdarzenia "Adam zdobędzie nagrodę.
Mamy doczynienia z nieskończoną sumą niezależnych zdarzeń losowych o prawdopodobieństwach:
\(\displaystyle{ P(AW) = p +(1-p)\cdot (1-q)\cdot p + (1-p)^2\cdot (1-q)^2\cdot p + (1-p)^3\cdot (1-q)^3\cdot p+ }\)
\(\displaystyle{ \ \ ... = p\cdot [ (1-p)\cdot(1-q)+ (1-p)^2(1- q)^2+(1-p)^3\cdot(1-q)^3+...] }\)
Jest to suma nieskończonego szeregu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ r = (1-p)\cdot (1-q), \ \ 0<r<1. }\)
\(\displaystyle{ P(AW) = p \cdot \frac{1}{1 - (1-p)(1-q)} = p\cdot \frac{1}{1 -(1-q-p+pq)}= \frac{p}{p+q -pq}. }\)
\(\displaystyle{ A }\) - zdarzenie "trafił Adam",
\(\displaystyle{ P(A) = p = \frac{1}{2}, }\)
\(\displaystyle{ B }\) - zdarzenie "trafił Bob",
\(\displaystyle{ P(B) = q = \frac{1}{3},}\)
\(\displaystyle{ AW }\) - zdarzenie "Adam wygra" (zdobędzie nagrodę),
\(\displaystyle{ P(AW) }\) - prawdopodobieństwo zdarzenia "Adam zdobędzie nagrodę.
Mamy doczynienia z nieskończoną sumą niezależnych zdarzeń losowych o prawdopodobieństwach:
\(\displaystyle{ P(AW) = p +(1-p)\cdot (1-q)\cdot p + (1-p)^2\cdot (1-q)^2\cdot p + (1-p)^3\cdot (1-q)^3\cdot p+ }\)
\(\displaystyle{ \ \ ... = p\cdot [ (1-p)\cdot(1-q)+ (1-p)^2(1- q)^2+(1-p)^3\cdot(1-q)^3+...] }\)
Jest to suma nieskończonego szeregu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ r = (1-p)\cdot (1-q), \ \ 0<r<1. }\)
\(\displaystyle{ P(AW) = p \cdot \frac{1}{1 - (1-p)(1-q)} = p\cdot \frac{1}{1 -(1-q-p+pq)}= \frac{p}{p+q -pq}. }\)