Diagonalizacja macierzy

[Niepokonana]

Dzień dobry
Proszę o pomoc, jak to się robi? Rozumiem, czym jest macierz diagonalna, jak się objawia zdiagonalizowanie macierzy, ale jak się diagonalizuje?
Sprawdź czy macierz jest diagonalizowalna:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&0&1\\2&3&2\\1&0&4\end{bmatrix}}\)

[Dasio11]

Przecież to standardowy algorytm - w którym momencie się zacinasz?

[Niepokonana]

Wszędzie, proszę przeprowadź mnie po kolei.

[Jan Kraszewski]

Zacznij od wyznaczenia wartości własnych.

JK

[Niepokonana]

Z moich obliczeń wynika, ze dwukrotnie \(\displaystyle{ 3}\) i jednokrotnie \(\displaystyle{ 5}\).

[Jan Kraszewski]

Z moich obliczeń wynika, ze dwukrotnie \(\displaystyle{ 3}\) i jednokrotnie \(\displaystyle{ 5}\).

No i dobrze. Macierz diagonalizuje się w bazie z wektorów własnych, więc kluczowe jest, czy podprzestrzeń własna dla wartości własnej \(\displaystyle{ 3}\) jest jedno- czy dwuwymiarowa. Żeby to ustalić wyznacz wektor(y) własny(e) dla tej wartości własnej.

JK

[Niepokonana]

Mnie to się nie podoba. Próbuję policzyć wektor własny i wychodzi macierz o trzech takich samych wierszach z dokładnością do stałych razy pewien wektor równa się zero. To dobrze? No i potem wychodzi, że \(\displaystyle{ x_{2}=0}\) i \(\displaystyle{ x_{1}=-x_{3}}\).

[Jan Kraszewski]

Mnie to się nie podoba. Próbuję policzyć wektor własny i wychodzi macierz o trzech takich samych wierszach z dokładnością do stałych razy pewien wektor równa się zero. To dobrze?

Dobrze.

No i potem wychodzi, że \(\displaystyle{ x_{2}=0}\) i \(\displaystyle{ x_{1}=-x_{3}}\).

No to iluwymiarowa jest podprzestrzeń własna dla \(\displaystyle{ \lambda=3}\) ? Albo inaczej - czy znajdziesz dwa liniowo niezależne wektory własne dla tej wartości własnej?

JK

[Dasio11]

No i potem wychodzi, że \(\displaystyle{ x_{2}=0}\) i \(\displaystyle{ x_{1}=-x_{3}}\).

Jesteś pewna?

[Jan Kraszewski]

No cóż, dzięki za czujność Dasio.

JK

[Niepokonana]

Jesteś pewna?

Tak jestem pewna, nie widzę, dlaczego miałoby być inaczej.

[Jan Kraszewski]

A skąd wzięłaś \(\displaystyle{ x_2=0}\) ?

JK

[Niepokonana]

No bo środkowa kolumna w macierzy to kolumna zer. Ej czyli to znaczy, że \(\displaystyle{ x_{2}}\) jest dowolne?

[Jan Kraszewski]

No bo środkowa kolumna w macierzy to kolumna zer.

No właśnie, a \(\displaystyle{ 0\cdot x_2=0}\), a nie \(\displaystyle{ x_2.}\)

Ej czyli to znaczy, że \(\displaystyle{ x_{2}}\) jest dowolne?

Tak. I wracamy do pytania

No to iluwymiarowa jest podprzestrzeń własna dla \(\displaystyle{ \lambda=3}\) ? Albo inaczej - czy znajdziesz dwa liniowo niezależne wektory własne dla tej wartości własnej?

Bo dla \(\displaystyle{ \lambda=5}\) wiadomo.

JK

[Niepokonana]

No to chyba znalazłam, bo \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) co nie?