Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego
Sprawdzić, czy szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n!} }\) jest zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ [-1,1].}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego
Rzut oka na przybliżenie \(\displaystyle{ \arctan t \approx t-\frac{t^3}{3}}\) w okolicach zera (ta aproksymacja wynika np. ze wzoru Taylora) sugeruje, że poza zerem nie ma nawet zbieżności punktowej (BTW na pewno dobrze przepisane?). Formalizuje się to tak, że warunkiem koniecznym zbieżności jednostajnej na danym zbiorze jest zbieżność punktowa, a dla ustalonego iksa to jest jak zbieżność szeregu liczbowego z parametrem, tj. z kolei jej warunkiem koniecznym jest to, by wyrazy zbiegały do zera, a jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0}\), to również \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}|a_n|=0}\), no i do wykazania, że to ostatnie (poza zerem) nie zachodzi, przydaje się wspomniana aproksymacja.
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Re: Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego
Przepraszam, powinno być \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n^n} }\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4123
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1412 razy
Re: Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego
Kryterium Weierstrassa daje odpowiedź
\(\displaystyle{ (\forall x\in[-1,1] ) (\forall n \in \NN) \quad \left| \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n^n}\right| \le \sup_{x\in [-1,1]} \left| \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n^n}\right| = \frac{2^n n!}{7}\arctg \frac{1}{n^n} \approx \frac{2^nn!}{n^n}. }\)
Poza tym \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{2^nn!}{n^n} }\) jest zbieżny.